Trắc nghiệm cực trị khoảng cách trong không gian Oxyz Phần 2

Do không đổi nên ta tìm lớn nhất và nhỏ nhất.

Ta có và .

Khi đó .

Cách 1. Khảo sát hàm số.

Lấy điểm , ta có: và .

Xét hàm số , tính đạo hàm:

.

Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất . Suy ra

(Có thể vào MENU 8 để tìm min, max của ).

Cách 2. Bất đẳng thức.

Ta viết lại MA và áp dụng bất đẳng thức Mincopxki:

Suy ra . Đẳng thức có khi .

Cách 3. Tổng quát.

Ghi CALC (nhập bộ khi thay A vào tử ) kết quả , CALC (thay B vào tử ) kết quả .

Từ đó tỉ số: .

Tìm tọa độ hình chiếu H, K của A, B trên .

Sửa lại bấm STO B, bấm 🞁 CALC nhập lại STO A.

Tọa độ điểm M thỏa mãn . Đến đây ta ghi:

bấm = = ta có , nên tọa độ .

Suy ra

Gọi cần tìm, suy ra tọa độ và tính tổng:

Dùng CASIO, thì , chu vi nhỏ nhất là .

Tính khoảng cách từ A, B đến thi . Gọi I là điểm thỏa mãn

Tọa độ , điểm M là hình chiếu của I trên nên có tọa độ . Từ đó

Vì AB không đổi nên ta cần tìm vị trí của C sao cho giá trị của tổng CA + CB nhỏ nhất.

Ta có:

.

Dấu bằng có khi . Do đó .

Cách 2. Tâm tỉ cự.

Ghi CALC nhập có . CALC nhập có .

Gọi I là điểm sao cho , tọa độ .

Sửa thành CALC nhập ta được .

Vậy M là hình chiếu của I trên d, tọa độ nên .

Biến đổi

.

Ghi CALC nhập tọa độ A, kết quả 34. CALC nhập tọa độ B, kết quả 68. Ta có tỉ số .

Gọi D thỏa mãn .

Ta tìm hình chiếu M của D trên (P).

Ghi bấm CALC nhập tọa độ D, kết quả 0. Vậy điểm M trùng D nên .

Trừ các vế mặt cầu thì phương trình hay là . Gọi , là hình chiếu của trên và thuộc đoạn , với .

Đặt .

Khi đó .

Áp dụng BĐT Mincopxki, ta có: .

Đẳng thức có khi .

Cách 1. Khảo sát - BĐT

Ta có phương trình (AB):

Lấy điểm M thuộc AB và tính

.

Đẳng thức xảy ra khi: .

Cách 2. Xét vị trí tương đối.

Ta có là hình bình hành. Gọi là trung điểm CD, vị trí M cần tìm là hình chiếu vuông góc của I trên AB.

Ghi CALC nhập tọa độ I ta có t = 0 do đó điểm .

Tính được

Giả sử các điểm . Khi đó

Vậy

.

Cách 1. Tâm tỉ cự.

Ghi CALC nhập có . CALC nhập có .

Gọi K là trung điểm AB, tọa độ .

Sửa thành CALC nhập STO M (ở đây ).

I là hình chiếu của K trên d, ghi bấm = có .

Cách 2. Vị trí tương đối.

Ta có .

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB cắt d tại I, phương trình là: . Ghi

SHIFT SOLVE và sửa thành bấm = ta có .

Ta có và chéo nhau, gọi sao cho là đoạn vuông góc chung.

Tính cùng phương , suy ra: và .

Lấy thuộc đoạn thì .

Khi đó . Chọn thỏa mãn:

. Vậy .

Mặt cầu có tâm và bán kính . Tính .

Ta có .

Đặt .

Khi đó điểm C nằm trong mặt cầu và .

Suy ra .

Dấu bằng xảy ra hay M thuộc mặt phẳng trung trực của BC, có phương trình (P): .

Vậy M thuộc .

Ta có , nên.

Phương trình . Do ba điểm , , nằm về cùng phía so với nên tổng các khoảng cách là:

.

Dấu bằng có khi và chỉ khi

.

Gọi mpqua A và song song với , có phương trình .

là các khoảng cách từ M, N đến d.

Ta có .

Hạ suy ra đường thẳng d cần tìm đi qua A và E.

Tọa độ của E trên là

Do AB không đổi nên chu vi nhỏ nhất khi nhỏ nhất.

Ghi CALC (nhập bộ khi thay A vào tử của ) kết quả , CALC (nhập bộ khi thay B vào tử của )

kết quả .

Đến đây gọi là trung điểm . Bấm ⏴ quay về sửa thành CALC nhập STO M bấm AC ghi

kết quả bằng .

Gọi D là điểm sao cho , tọa độ .

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của . Tỉ số .

Gọi E là điểm trên đường thẳng BD sao cho .

Khi đó M là hình chiếu của E trên (P). Ghi nhập tọa độ E STO E, bấm 2E + x : -2E + y : E + z = = = kết quả tọa độ .

Từ đó min() .

Cách 2. Bất đẳng thức.

Theo bất đẳng thức Mincopxki, ta có :

Suy ra

minT

.

Tính .

Khi đó .

Để T nhỏ nhất thì ngược hướng, suy ra:

.

Nhận xét mặt phẳng song song với trục . Ta có AB ngắn nhất nếu B là hình chiếu của A trên Oz, còn lại chọn vị trí của C trên (P) để CA + CB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua (P) thì , ngoài ra A’B vuông góc với Oz nên chu vi nhỏ nhất khi C, A’ và B thẳng hàng. Vậy tọa độ .