Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm cực trị khoảng cách trong không gian Oxyz Phần 2

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Tổng hợp dạng bài cực trị khoảng cách Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

Cực trị khoảng cách trong không gian Oxyz là dạng toán khó nhưng rất thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Để giải nhanh và chính xác, học sinh cần nắm vững phương pháp hình học kết hợp đại số. Bài viết này tổng hợp trắc nghiệm cực trị khoảng cách trong không gian Oxyz kèm hướng dẫn giải chi tiết, giúp bạn nâng cao tư duy và kỹ năng làm bài.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A( - 1;0;0),\ \ B(0; - 1;0),C(0;0;1) và mặt phẳng (P):2x - 2y + z + 7 = 0. Xét M \in (P), giá trị nhỏ nhất của \left| \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right| + \left| \overrightarrow{MB} \right| bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi D là điểm sao cho \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0}, tọa độ D( - 1;1;1).

    Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MB + MD. Tỉ số t = \frac{d_{B}}{d_{D}} = \frac{9}{4}.

    Gọi E là điểm trên đường thẳng BD sao cho \overrightarrow{EB} + \frac{9}{4}\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow E\left( - \frac{9}{13};\frac{5}{13};\frac{9}{13} \right).

    Khi đó M là hình chiếu của E trên (P). Ghi - \frac{2x - 2y + z + 7}{9} nhập tọa độ E STO E, bấm 2E + x : -2E + y : E + z = = = kết quả tọa độ M\left( - \frac{25}{13};\frac{21}{13};\frac{1}{13} \right).

    Từ đó min(MB + MD) = \frac{9\sqrt{22} + 4\sqrt{22}}{13} = \sqrt{22}.

    Cách 2. Bất đẳng thức.

    Theo bất đẳng thức Mincopxki, ta có :

    MB + MD = \sqrt{BK^{2} + KM^{2}} + \sqrt{DI^{2} + MI^{2}}

    \geq \sqrt{(BK + DI)^{2} + (KM + MI)^{2}}

    Suy ra \min T = \sqrt{\left( d_{B} + d_{D} \right)^{2} + KI^{2}}

    minT = \sqrt{\left( d_{B} + d_{D} \right)^{2} + BD^{2} - \left( d_{B} - d_{D} \right)^{2}}

    = \sqrt{BD^{2} + 4d_{B}.d_{D}} = \sqrt{6 + 4.3.\frac{4}{3}} = \sqrt{22}.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{1} và \Delta' = \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}. Xét điểm Mthay đổi trong không gian, gọi a,b lần lượt là khoảng cách từ M đến \Delta và \Delta'. Biểu thức a^{2} + 2b^{2}đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khiM \equiv M_{0}\left( x_{0},y_{0},z_{0} \right). Khi đó giá trị x_{0} + y_{0} bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có \Delta và \Delta' chéo nhau, gọi A(a;a;a + 1) \in \Delta,B(b + 1;2b;b) \in \Delta' sao cho AB là đoạn vuông góc chung.

    Tính \overrightarrow{AB} = (b + 1 - a;2b - a;b - 1 - a) cùng phương \overrightarrow{u} = (1;0; - 1), suy ra: a = 2b = 0 và A(0;0;1),B(1;0;0).

    Lấy M thuộc đoạn AB thì a = MA,b = MB.

    Khi đó MA^{2} + 2MB^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} \right). Chọn M \equiv Ithỏa mãn:

    \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I\left( \frac{2}{3};0;\frac{1}{3} \right). Vậy x_{0} + y_{0} = \frac{2}{3}.

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính R

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = 8 và hai điểm A(4;4;3), B(1;1;1). Gọi (C) là tập hợp các điểm M \in (S) để |MA - 2MB| đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng (C) là một đường tròn bán kính R. Tính R.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(0;0;3) và bán kính r = 2\sqrt{2}. Tính \overrightarrow{IA} = (4;4;0).

    Ta có AM^{2} = \left( \overrightarrow{IM} - \overrightarrow{IA} \right)^{2} = IM^{2} + IA^{2} - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA} = 40 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA}.

    Đặt \overrightarrow{IA} = 4\overrightarrow{IC} \Leftrightarrow \overrightarrow{IC} = \frac{1}{4}(4;4;0) = (1;1;0) \Leftrightarrow C(1;1;3).

    Khi đó điểm C nằm trong mặt cầu và AM^{2} = 40 - 8\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC} = 4\left( 8 + 2 - 2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IC} \right) = 4CM^{2} \Leftrightarrow MA = 2MC.

    Suy ra |MA - 2MB| = 2|MC - MB| \geq 0.

    Dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow MC = MB hay M thuộc mặt phẳng trung trực của BC, có phương trình (P): 2z = 4 \Leftrightarrow (P):z - 2 = 0.

    Vậy M thuộc (C) = (P) \cap (S).

    Ta có d\left( I,(P) \right) = h = 1, nênR = \sqrt{r^{2} - h^{2}} = \sqrt{7}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}. Gọi M(a;b;c) \in \Delta sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng T = a + b + c?

    Hướng dẫn:

    Do AB không đổi nên chu vi MAB nhỏ nhất khi MB + MC nhỏ nhất.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(2x - y + 2z)^{2}}{9} CALC (nhập bộ khi thay A vào tử của \Delta) 2 = 4 = 0 = =kết quả 20, CALC (nhập bộ khi thay B vào tử của \Delta) 4 = 2 = 6 = =

    kết quả 20.

    Đến đây gọi I(2;4;3) là trung điểm AB. Bấm ⏴ quay về sửa thành \frac{(2x - y + 2z)}{9} CALC nhập 3 = 3 = 3 = =STO M bấm AC ghi - 1 + 2M + 1 - M + 2M =

    kết quả bằng 3.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của P

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;3),B(5;2; - 1) và hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho điểm I(1;2;0) luôn là trung điểm của MN. Khi biểu thức P = MA^{2} + 2NB^{2} + \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NB} đạt giá trị nhỏ nhất, tính T = 2x_{M} - 4x_{N} + 7y_{M} - y_{N}

    Hướng dẫn:

    Giả sử các điểm M(1 - x;2 - y;0),N(1 + x;2 + y;0),x^{2} + y^{2} \neq 0. Khi đó

    P = x^{2} + (y - 1)^{2} + 9 + 2\left( x^{2} - 8x + y^{2} + 17 \right) + x(4 - x) - y(y - 1) - 3

    P = 2x^{2} - 12x + 2y^{2} - y + 41

    = 2(x - 3)^{2} + 2\left( y - \frac{1}{4} \right)^{2} + \frac{183}{8} \geq \frac{183}{8}

    Vậy \min P = \frac{183}{8} \Leftrightarrow x = 3,y = \frac{1}{4}

    \Leftrightarrow M\left( - 2;\frac{7}{4};0 \right),N\left( 4;\frac{9}{4};0 \right) \Rightarrow T = - 10.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;2;1), B( - 1;4; - 3). Lấy điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho |MA - MB| lớn nhất. Tọa độ M là

    Hướng dẫn:

    Ta có tỉ số t = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{|1|}{| - 3|} = \frac{1}{3} nên gọi C là điểm thỏa mãn \overrightarrow{CA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow C\left( 5;1;\frac{5}{2} \right). Khi đó điểm M cần tìm là hình chiếu của C trên (Oxy)nên tọa độ M(5;1;0).

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; - 1;2),B(3; - 4; - 2) và đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 4t \\ y = - 6t \\ z = - 1 - 8t \end{matrix} \right.. Điểm I(a,b,c) thuộc d thỏa mãn IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Tâm tỉ cự.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(4x - 6y - 8z)^{2}}{116} CALC nhập - 1 = - 1 = 3 = \ = có {d_{a}}^{2} = \frac{198}{29}. CALC nhập 1 = - 4 = - 1 = \ = có {d_{b}}^{2} = \frac{198}{29}.

    Gọi K là trung điểm AB, tọa độ K(2;\frac{- 5}{2};0).

    Sửa thành \frac{(4x - 6y - 8z)}{116} CALC nhập 0 = - 5/2 = 1 = \ = STO M (ở đây t = \frac{7}{116}).

    I là hình chiếu của K trên d, ghi 2 + 4M + ( - 6M) + ( - 1 - 8M) bấm = có T = \frac{23}{58}.

    Cách 2. Vị trí tương đối.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (2; - 3; - 4)//\overrightarrow{u_{d}}.

    Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB cắt d tại I, phương trình là: 2x - 3y - 4z = \frac{23}{2}. Ghi 2(2 + 4x) - 3( - 6x) - 4( - 1 - 8x) = \frac{23}{2}

    SHIFT SOLVE và sửa thành (2 + 4x) + ( - 6x) + ( - 1 - 8x) bấm = ta có \frac{23}{58}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho A( - 4; - 1;3), B( - 1; - 2; - 1), C(3;2; - 3) và D(0; - 3; - 5). Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua D và ba điểm A, B, C nằm về cùng phía so với (\alpha). Biết tổng khoảng cách từ A, B, C đến (\alpha) lớn nhất, trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng (\alpha)\ \ ?

    Hướng dẫn:

    Phương trình (\alpha):a(x + 0) + b(y + 3) + c(z + 5) = 0. Do ba điểm A, B, C nằm về cùng phía so với (\alpha) nên tổng các khoảng cách là:

    d = d_{A} + d_{B} + d_{C}

    = \frac{\left| a\left( x_{A} + x_{B} + x_{C} + 0 \right) + b\left( y_{A} + y_{B} + y_{C} + 9 \right) + c\left( z_{A} + z_{B} + z_{C} + 15 \right) \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    d = \frac{\left| a( - 2) + b(8) + c(14) \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{2\left| a( - 1) + b(4) + c(7) \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

    \leq 2\sqrt{( - 1)^{2} + 4^{2} + 7^{2}} = 2\sqrt{66}.

    Dấu bằng có khi và chỉ khi

    \frac{a}{- 1} = \frac{b}{4} = \frac{c}{7} \Rightarrow \overrightarrow{n} = ( - 1;4;7)

    \Rightarrow (\alpha): - (x + 0) + 4(y + 3) + 7(z + 5) = 0.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của T

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1} và hai điểmA(1;2; - 5), B( - 1;0;2). Biết điểm M thuộc \Delta sao cho biểu thức |MA - MB| đạt giá trị lớn nhất T_{\max}. Khi đó T_{\max} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Khảo sát hàm số.

    Lấy điểm M(x;x + 1;x) \in \Delta, ta có: MA = \sqrt{3x^{2} + 6x + 27} và MB = \sqrt{3x^{2} + 6}.

    Xét hàm số f(x) = MA - MB = \sqrt{3x^{2} + 6x + 27} - \sqrt{3x^{2} + 6}, tính đạo hàm:

    f^{'(x)} = \frac{3x + 3}{\sqrt{3x^{2} + 6x + 27}} - \frac{3x}{\sqrt{3x^{2} + 6}};f^{'(x)} = 0

    \Leftrightarrow \frac{x + 1}{\sqrt{3x^{2} + 6x + 27}} = \frac{x}{\sqrt{3x^{2} + 6}}.

    Giải ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Suy ra T_{\max} = 3.

    (Có thể vào MENU 8 để tìm min, max của f(x)).

    Cách 2. Bất đẳng thức.

    Ta viết lại MA và áp dụng bất đẳng thức Mincopxki:

    MA = \sqrt{\left( \sqrt{3}x + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( \sqrt{6} + \sqrt{6} \right)^{2}}

    \leq \sqrt{\left( \sqrt{3}x \right)^{2} + \left( \sqrt{6} \right)^{2}} + \sqrt{\left( \sqrt{3} \right)^{2} + \left( \sqrt{6} \right)^{2}} = MB + 3

    Suy ra MA - MB \leq 3. Đẳng thức có khi \frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \Leftrightarrow x = 1.

    Cách 3. Tổng quát.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x + y + z)^{2}}{3} CALC (nhập bộ khi thay A vào tử \Delta) 1 = 1 = - 5 = kết quả {d_{a}}^{2} = 24, CALC (thay B vào tử \Delta) - 1 = - 1 = 2 = kết quả {d_{b}}^{2} = 6.

    Từ đó tỉ số: t = d_{a}/d_{b} = 2\sqrt{6}/\sqrt{6} = 2.

    Tìm tọa độ hình chiếu H, K của A, B trên \Delta.

    Sửa lại \frac{(x + y + z)}{3} bấm = STO B, bấm 🞁 CALC nhập lại 1 = 1 = - 5 = \ = STO A.

    Tọa độ điểm M thỏa mãn \overrightarrow{MH} - 2\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OH} - 2\overrightarrow{OK}}{1 - 2}. Đến đây ta ghi:

    \frac{A - 2B}{1 - 2}:\frac{A + 1 - 2(B + 1)}{1 - 2} bấm = = ta có x_{M} = 1, y_{M} = 2 nên tọa độ M(1;2;1).

    Suy ra \max T = |MA - MB| = 6 - 3 = 3.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính tổng a, b, c

    Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2;3;5), B( - 1;3;2), C( - 2;1;3)và D(5;7;4). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức T = 4MA^{2} + 5MB^{2} - 6MC^{2} + MD^{4} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi 4\overrightarrow{IA} + 5\overrightarrow{IB} - 6\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow I(5;7;4) \equiv D.

    Khi đó T = 3MD^{2} + 4DA^{2} + 5DB^{2} - 6DC^{2} + MD^{4} nhỏ nhất khi M là hình chiếu của D trên mp(Oxy). Tọa độ M(5;7;0) nên a + b + c = 12.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tìm tọa độ điểm B

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; - 6;1) và mặt phẳng (P):x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz; điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm B là.

    Hướng dẫn:

    Nhận xét mặt phẳng (P) song song với trục Oz. Ta có AB ngắn nhất nếu B là hình chiếu của A trên Oz, còn lại chọn vị trí của C trên (P) để CA + CB nhỏ nhất.

    Lấy A’ đối xứng với A qua (P) thì CA + CB = CA' + CB \geq A'B, ngoài ra A’B vuông góc với Oz nên chu vi CAB nhỏ nhất khi C, A’ và B thẳng hàng. Vậy tọa độ B(0;\ 0;\ 1).

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm GTNN của biểu thức

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm điểm A( - 4;4;0),B(2;0;4), C(1;2; - 1) và D(7; - 2;3). Giả sử M là điểm di động trên đường thẳng AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MC + MD.

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Khảo sát - BĐT

    Ta có phương trình (AB): x = 2 + 3t,y = - 2t,z = 4 + 2t.

    Lấy điểm M thuộc AB và tính CM + DM = \sqrt{(1 + 3t)^{2} + (2t + 2)^{2} + (2t + 5)^{2}} + \sqrt{(5 - 3t)^{2} + (2 - 2t)^{2} + ( - 1 - 2t)^{2}}.

    CM + DM = \sqrt{17t^{2} + 34t + 30} + \sqrt{17t^{2} - 34t + 30}.

    CM + DM = \sqrt{(\sqrt{17}t + \sqrt{17})^{2} + {\sqrt{13}}^{2}} + \sqrt{(\sqrt{17} - \sqrt{17}t)^{2} + {\sqrt{13}}^{2}}

    \geq \sqrt{\left( 2\sqrt{17} \right)^{2} + \left( 2\sqrt{13} \right)^{2}} = 2\sqrt{30}.

    Đẳng thức xảy ra khi: \frac{\sqrt{17} + \sqrt{17}t}{\sqrt{17} - \sqrt{17}t} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 1 \Leftrightarrow t = 0.

    Cách 2. Xét vị trí tương đối.

    Ta có \overrightarrow{AB} = (6; - 4;4) = \overrightarrow{CD} \Rightarrow ABDC là hình bình hành. Gọi I(4;0;1) là trung điểm CD, vị trí M cần tìm là hình chiếu vuông góc của I trên AB.

    Ghi \frac{3(x - 2) - 2y + 2(z - 4)}{9 + 4 + 4} CALC nhập tọa độ I ta có t = 0 do đó điểm M(2;0;4) \equiv B.

    Tính được \min(CM + DM) = 2BD = 2\sqrt{30}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz,cho điểmA(2;3;0),\ \ B(0; - \sqrt{2};0),\ \ M\left( \frac{6}{5}; - \sqrt{2};2 \right)và đường thẳngd:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 2 - t \end{matrix} \right.\ . Điểm Cthuộcdsao cho chu vi tam giácABClà nhỏ nhất thì độ dài CMbằng

    Hướng dẫn:

    Vì AB không đổi nên ta cần tìm vị trí của C sao cho giá trị của tổng CA + CB nhỏ nhất.

    Ta có:

    T = AC + BC = \sqrt{2(t - 2)^{2} + 9} + \sqrt{t^{2} + (t - 2)^{2} + 2}

    = \sqrt{2t^{2} - 8t + 17} + \sqrt{2t^{2} - 4t + 6} \geq 3\sqrt{3}.

    Dấu bằng có khi t = \frac{7}{5}. Do đó CM = \sqrt{\left( t - \frac{6}{5} \right)^{2} + 2 + t^{2}} = 2.

    Cách 2. Tâm tỉ cự.

    Ghi x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x + 0y - z)^{2}}{2} CALC nhập 2 = 3 = - 2 = có {d_{a}}^{2} = 9. CALC nhập 0 = - \sqrt{2} = - 2 = có {d_{b}}^{2} = 4.

    Gọi I là điểm sao cho 2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}, tọa độ I(\frac{4}{5};\frac{6 - 2\sqrt{2}}{5};0).

    Sửa thành \frac{(x + 0y - z)}{2} CALC nhập \frac{4}{5} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{5} = - 2 =ta được t = \frac{7}{5}.

    Vậy M là hình chiếu của I trên d, tọa độ M(\frac{7}{5};0;\frac{3}{5}) nên CM = 2.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tìm vectơ chỉ phương của d

    Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi quaA(2;1;0), song song với mặt phẳng (P):x - y - z = 0 và có tổng khoảng cách từ các điểm M(0;2;0),N(4;0;0) tới đường thẳng d có giá trị nhỏ nhất. Vecto chỉ phương \overrightarrow{u} của d có tọa độ là

    Hướng dẫn:

    Gọi mp(Q)qua A và song song với (P), có phương trình x - y - z - 1 = 0.

    MH,NK là các khoảng cách từ M, N đến d.

    Ta có MH + NK \geq d\left( M,(Q) \right) + d\left( N,(Q) \right).

    Hạ ME\bot(Q) suy ra đường thẳng d cần tìm đi qua A và E.

    Tọa độ của E trên (Q)là E(1;1; - 1) \Rightarrow \overrightarrow{u} = \overrightarrow{EA} = (1;0;1).

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1), B(7;-2;3) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):2x + 3y - 4 = 0 và (Q):y + z - 4 = 0. Điểm I \in (d) sao cho tam giác ABI có chu vi nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất đó bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi I \in (d) cần tìm, suy ra tọa độ I(2 + 3t; - 2t;4 + 2t) và tính tổng:

    AI + BI = \sqrt{(1 + 3t)^{2} + (2t + 2)^{2} + (2t + 5)^{2}} + \sqrt{(3t - 5)^{2} + (2 - 2t)^{2} + (1 + 2t)^{2}}.

    Dùng CASIO, thì \min(AI + BI) = 2\sqrt{30}, chu vi nhỏ nhất là 2(\sqrt{30} + \sqrt{17}).

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính tích số theo yêu cầu

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A( - 8;1;1),B(2;1;3)vàC(6;4;0). Điểm Mdi động trong không gian sao cho \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 34. Biết |MA - MB| đạt giá trị lớn nhất tại điểm M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}). Tính tích số x_{0}y_{0}z_{0}.

    Hướng dẫn:

    Biến đổi \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + 34

    \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC} = 34

    \Leftrightarrow 4( - 8 - x) + 3(1 - y) - 3(1 - z) = 34

    \Leftrightarrow M \in (P):4x + 3y - 3z + 66 = 0.

    Ghi 4x + 3y - 3z + 66 CALC nhập tọa độ A, kết quả 34. CALC nhập tọa độ B, kết quả 68. Ta có tỉ số t = \frac{d_{a}}{d_{b}} = \frac{34}{68} = \frac{1}{2}.

    Gọi D thỏa mãn \overrightarrow{DA} - \frac{1}{2}\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow D( - 18;1; - 1).

    Ta tìm hình chiếu M của D trên (P).

    Ghi - \frac{4x + 3y - 3z + 66}{16 + 9 + 9} bấm CALC nhập tọa độ D, kết quả 0. Vậy điểm M trùng D nên x_{0}y_{0}z_{0} = 18.

     

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( - 1;0;0) và B(2;3;4). Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \left( S_{1} \right):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 4 và \left( S_{2} \right):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2y - 2 = 0. Xét M, N là hai điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) sao cho MN = 1. Giá trị nhỏ nhất của AM + BN bằng

    Hướng dẫn:

    Trừ các vế mặt cầu thì phương trình (P):x = 0 hay là (Oyz). Gọi H(0;0;0), K(0;3;4) là hình chiếu của A,B trên (P) và M,N thuộc đoạn HK, với HK = 5.

    Đặt HM = t \Rightarrow KN = 5 - 1 - t = 4 - t.

    Khi đó AM + BN = \sqrt{1^{2} + t^{2}} + \sqrt{2^{2} + (4 - t)^{2}}.

    Áp dụng BĐT Mincopxki, ta có: AM + BN \geq \sqrt{(1 + 2)^{2} + (t + 4 - t)^{2}} = 5.

    Đẳng thức có khi \frac{4 - t}{t} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính tổng S

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;\ - 1;\ - 1),\ B( - 1;\ - 3;\ 1). Giả sử C,\ D là hai điểm di động trên mặt phẳng (P):\ 2x + y - 2z - 1 = 0 sao cho CD = 4 và A,\ C,\ D thẳng hàng. Gọi S_{1},\ S_{2} lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng S_{1} + \ S_{2} có giá trị bằng

    Hướng dẫn:

    Do CD = 4 không đổi nên ta tìm h = d(B,CD) lớn nhất và nhỏ nhất.

    Ta có \max h = BA = 3 và \min h = d\left( B,(P) \right) = \frac{8}{3}.

    Khi đó S_{1} + S_{2} = \frac{1}{2}.CD.(BA + BH) = \frac{34}{3}.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0\ ;\ 0\ ;\ 2),\ B(1\ ;\ 1;\ 0) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = \frac{1}{4}. Xét điểm M thay đổi thuộc(S). Giá trị nhỏ nhất của biểu thứcMA^{2} + 2MB^{2} bằng

    Hướng dẫn:

    Tính \overrightarrow{IA} = (0;0;1),\overrightarrow{IB} = (1;1; - 1) \Rightarrow \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = (2;2; - 1) = \overrightarrow{IK}.

    Khi đó T = MA^{2} + 2MB^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} = \frac{31}{4} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}.

    Để T nhỏ nhất thì \overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK} ngược hướng, suy ra:

    \min T = \frac{31}{4} - 2.R.IK = \frac{31}{4} - 2.\frac{1}{2}.3 = \frac{19}{4}.

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tính giá trị nhỏ nhất của AM

    Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1;3;10), B(4;6;5) và M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (Oxy) sao cho MA, MB cùng tạo với mặt phẳng (Oxy) các góc bằng nhau. Tính giá trị nhỏ nhất của AM.

    Hướng dẫn:

    Tính khoảng cách từ A, B đến (Oxy) thi d_{A} = 2d_{B}. Gọi I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}

    Tọa độ I\left( 3;5;\frac{20}{3} \right), điểm M là hình chiếu của I trên (Oxy) nên có tọa độ M(3;5;0). Từ đó AM = 6\sqrt{3}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (5%):
    2/3
  • Thông hiểu (80%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
1 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này