Trắc nghiệm cực trị khoảng cách trong không gian Oxyz Phần 3

Tâm , tính .

.

Đặt thì C nằm trong mặt cầu và:

.

Vậy .

Giao tuyến của và là .

Tính các khoảng cách từ đến , ta có .

Gọi là trung điểm , điểm cần tìm là hình chiếu của trên .

Mà nên . Vậy .

Mặt cầu có tâm , bán kính . Ta lại có đi qua và vuông góc với tại tâm của đường tròn giao tuyến.

Hạ , có , , .

Khi đó .

Gọi .

Khi đó .

Để S nhỏ nhất thì nhỏ nhất, suy ra . Vậy .

Vào MENU 9 1 3 giải hệ ba ẩn, ta có mặt phẳng (ABC): , đi qua điểm D, nên 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng, bốn điểm tạo thành tứ giác.

Tính:

, , , , , .

Suy ra AD > AC > BC > BD = DC > AB nên ta có tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại điểm M cần tìm, vì .

Ta có giao với tại .

Vậy .

Gọi lần lượt là hình chiếu của trên mp. Vị trí các điểm như hình vẽ.

Ta có tỉ số .

Đặt .

Vậy .

Gọi đối xứng với qua mp. là hình chiếu vuông góc của trên , tọa độ . Lấy đối xứng với qua . Khi đó:

, dấu bằng có khi thẳng hàng.

Ta có .

Gọi sao cho ; gọi sao cho .

Khi đó điểm thuộc đường tròn giao tuyến của và mặt cầu đường kính .

Tâm mặt cầu , bán kính .

Gọi , khi đó . Mà nên chọn và . Vậy .

Ta có

; .

Đặt , khi đó

.

Suy ra khi cùng hướng.

Khi đó

.

Gọi mp, trong đó (1).

Ta có , vì A, B, C cùng phía với nên (2).

Thay (1) vào (2), ta có:

Ta có suy ra tâm thuộc mặt cầu . Giả sử đường thẳng IJ cắt (P) tại K, ta có:

Phương trình mp(OIJ): .

Gọi A, B là hai tiếp điểm trong mp(OIJ), khi đó KAB là tam giác đều. Đường thẳng AB qua H thuộc IJ và dễ thấy H là trung điểm IJ, tọa độ .

Phương trình AB: cắt khi

.

mp(P) qua K, vtpt là và tương tự:

Phương trình . Từ đó:

.

Trong đó nên

Gọi và ta cần tính khi đạt giá trị nhỏ nhất.

.

Dễ thấy các Parabol đồng thời đạt nhỏ nhất tại và . Khi đó

Gọi .

Khi đó .

Để S lớn nhất thì nhỏ nhất, suy ra . Vậy .

Tính .

Khi đó

.

Để T nhỏ nhất thì ngược hướng, suy ra:

.

Kiểm tra được ba điểm A, B, C đều thuộc mặt phẳng và đều thuộc mặt cầu hay chúng đều thuộc đường tròn tâm K, bán kính r.

Mặt khác ta có hay tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn .

Giả sử điểm M thuộc cung BC, đặt , ta có:

Hay

là trung điểm cung BC.

Tương tự ta có thêm hai trường hợp trên hai cung còn lại.

qua nên ta có: .

Nên .

Tổng các khoảng cách là (Vì tử số cùng dấu).

Hay .

Đẳng có khi . Vậy .

Ta có các diện tích tam giác không đổi, mặt phẳng và điểm A cố định nên thể tích khối tứ diện không đổi. Gọi I, r là tâm và bán kinh mặt cầu nội tiếp tứ diện thì:

, trong đó .

Gọi là các đường cao của các tam giác . Ta có r lớn nhất khi nhỏ nhất hay tổng nhỏ nhất.

Phương trình . Gọi là trung điểm của . Dễ thấy .

Ta có nên:

Suy ra

.

Vậy nhỏ nhất tại .

Ta có , , nên tứ diện là tứ diện vuông đỉnh . Giả sử .

Ta có ,

;

,

.

Do đó .

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng , khi và chỉ khi . Nên .