Trắc nghiệm tổ hợp vectơ trong không gian Oxyz Phần 1

Gọi I là trung điểm của PQ ta có tọa độ .

Khi đó nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I trên trục hoành. Vậy tọa độ .

Gọi (1).

.

Suy ra .

Dấu bằng có khi và chỉ khi .

Cách 2. Tâm tỉ cự

Gọi là trung điểm của .

Ta có hay

nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên .

Ghi CALC (nhập tọa độ I ) STO M bấm AC

Ghi bấm = = = ta được .

Cách 1. Phương pháp véc tơ.

Từ giả thiết ta có:

(1).

Từ đó lớn nhất khi và chỉ khi và cùng hướng.

Ta có: , đặt , từ (1) .

Vậy .

Cách 2. Phương pháp hình học.

Nhận xét được , do đó gọi D là chân đường phân giác trong của góc O tam giác AOB, C là chân đường phân giác ngoài của góc O của tam giác thì M trùng C. Tọa độ

.

Ta có:

.

Tâm I mặt cầu thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình .

Do đó, từ phương trình và , ta có tọa độ , suy ra:

.

Cách 1. (Tâm tỉ cự)

Gọi tọa độ , ta có ba điểm A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi:

Khi đó .

Cách 2. (Vị trí tương đối – Tổng quát)

Xét tam giác đồng dạng, ta có .

Cách 1. Phương pháp véctơ.

Gọi I(0 ; 0 ; 1) là tâm mặt cầu, bán kính , ta có .

Ta có :

.

Vậy để tổng nhỏ nhất thì ngược hướng nhau

Suy ra

.

Cách 2. Khảo sát - BĐT.

Gọi , từ giả thiết ta có .

Đặt , ta có

.

Dấu bằng tại

Gọi là điểm thỏa mãn .

Ta có nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P). Mặt khác ta có I thuộc (P) nên M trùng I.

Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn: , với Hay ta viết lại : , mà mp đi qua M nên .

Ta có:

Suy ra khi .

Suy ra .

Gọi I là điểm thỏa mãn .

Ta có nên T nhỏ nhất khi M trùng I.

Vậy .

Gọi I là điểm thỏa mãn .

Khi đó đạt giá trị nhỏ nhất K là hình chiếu của I trên trục Oy, vậy điểm K cần tìm là .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .

Ta có:

nhỏ nhất

M là hình chiếu của G trên Oxy và khi đó. Vậy .

Gọi là điểm thỏa mãn . Ta có nhỏ nhất là hình chiếu của I trên (P).

Ghi  CALC nhập tọa độ I bấm STO M bấm AC

Ghi kết quả .

Sửa thành  kết quả

Vậy

Gọi là trọng tâm tam giác

Ta có nhỏ nhất khi MG là khoảng cách từ G đến (P).

Ghi CALC nhập tọa độ G, kết quả bằng 14.

Cách 1. Tâm tỉ cự.

Gọi là trung điểm của .

Ta có:

nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên d.

Ghi CALC (nhập bộ khi thay I vào tử của d) STO M bấm AC

Ghi ta được .

Cách 2. Khảo sát Parabol.

Gọi , khi đó là Parabol đối với t, nên đạt GTNN tại .

Ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng

Ta có:

tại : và .

Khi đó .

Cách 1. Hệ tọa độ.

Lấy . Dựng hệ tọa độ Axyz như hình vẽ, với , khi đó phương trình mặt phẳng (BCD) là .

Điểm thuộc mặt phẳng đó sao cho và thể tích khối là:

.

Nên .

Cách 2. Hình học tổng hợp (Cổ điển).

Đặt .

Ta có .

Khi đó (1).

Mặt khác ta có lần lượt song song với nên góc giữa các đường thẳng đó chính là góc giữa các mặt bên và đều bằng . Do đó thể tích: .