Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm tổ hợp vectơ trong không gian Oxyz Phần 2

Luyện thi THPT Quốc Gia môn Toán

Bài tập vectơ Oxyz lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia - Phần 2

Tổ hợp vectơ trong không gian Oxyz là dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 12, thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia với nhiều mức độ. Việc luyện tập trắc nghiệm có đáp án sẽ giúp bạn nắm chắc phương pháp và nâng cao tốc độ giải bài.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính tổng a, b, c

    Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(0;\ 1;\ 1), B(3;\ 0; - 1), C(0;\ 21; - 19) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 1. M(a;\ b;\ c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T = 3MA^{2} + 2MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Gọi I(1;\ 1;\ 1) là tâm mặt cầu, bán kính R = 1.

    Ta có

    T = 3MA^{2} + 2MB^{2} + MC^{2}

    = 6MI^{2} + 3IA^{2} + 2IB^{2} + IC^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\left( 3\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} \right).

    Đặt 3\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = (0;18; - 24) = \overrightarrow{IK}, khi đó T nhỏ nhất nếu \overrightarrow{IM},\overrightarrow{IK} cùng hướng.

    Ta có \overrightarrow{IM} = t.\overrightarrow{IK},t > 0 \Rightarrow t = \frac{R}{IK} = \frac{1}{30}

    \Rightarrow \overrightarrow{IM} = \frac{1}{30}(0;18; - 24) = \left( 0;\frac{3}{5}; - \frac{4}{5} \right)

    Từ đó M\left( 1;\frac{8}{5};\frac{1}{5} \right) \Rightarrow a + b + c = \frac{14}{5}.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm tọa độ điểm M để biểu thức đạt min

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \Delta:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 1} và hai điểm A(0; - 1;3), B(1; - 2;1). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng \Delta sao cho MA^{2} + 2MB^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi I\left( \frac{2}{3};\frac{- 5}{3};\frac{5}{3} \right) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}. Ta tìm hình chiếu của I trên\Delta.

    Ghi \frac{2x + y - z}{6} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{M_{0}I}) \frac{2}{3} - 1 = - \frac{5}{3} = \frac{5}{3} + 2 = \ \ = STO M.

    ghi 2M + 1:M: - M - 2 bấm = \ \ = \ \ = kết quả M( - 1; - 1; - 1).

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 9 và hai điểm A(4;3;1),\ B(3;1;3); M là điểm thay đổi trên (S). Gọi P_{\max},P_{\min} lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = 2MA^{2} - MB^{2}. Giá trị P_{\max} - P_{\min} bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi I(1;\ 2;\ - 1) là tâm mặt cầu, bán kính R = 3.

    Ta có P = 2MA^{2} - MB^{2} = MI^{2} + 2IA^{2} - IB^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} \right).

    Đặt 2\overrightarrow{IA} - \overrightarrow{IB} = (4;3;0) = \overrightarrow{IK}.

    Khi đó P lớn nhất, nhỏ nhất nếu \overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK} tương ứng cùng hướng và ngược hướng. Từ đó P_{\max} - P_{\min} = 4.R.IK = 60.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính thể tích nhỏ nhất của tứ diện

    Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (\alpha) đi qua M(1;1;4) cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C phân biệt sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Tính thể tích nhỏ nhất đó.

    Hướng dẫn:

    Ta có \min V_{OABC} = \frac{1}{6}.abc tại : \frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{4}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = b = 3,c = 12.

    Khi đó \min V_{OABC} = \frac{1}{6}.3.3.12 = 18.

  • Câu 5: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = - t \end{matrix} \right. và ba điểm A(6;0;0),B(0;3;0),C(0;0;4). Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc d sao cho biểu thức P = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó a + b + c bằng

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Tâm tỉ cự.

    Gọi I(1;1;2) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}. Ta tìm hình chiếu của I trên(d).

    Ghi \frac{- x + y - z}{3} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{M_{0}I}) 0 = - 1 = 2 = \ \ = STO M.

    (Chú ý a + b + c = 3 - t nên ) ghi 3 - M bấm = kết quả 4.

    Cách 2. Khảo sát.

    Giả sử M(1 - t;2 + t; - t) \in d.

    Ta có: P = (t + 5)^{2} + (t + 2)^{2} + t^{2} + 2\left\lbrack 2(t - 1)^{2} + t^{2} \right\rbrack

    + 3\left\lbrack (t - 1)^{2} + (t + 2)^{2} + (t + 4)^{2} \right\rbrack là Parabol.

    Nên P đạt giá trị nhỏ nhất tại t = - \frac{10 + 4 - 8 + 30}{2.18} = - 1, khi đó M(2;1;1) \Rightarrow a + b + c = 4.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức S

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(1;0;2),B(3;1; - 1).và mặt phẳng (P):x + y + z - 1 = 0. Gọi M(a;b;c) \in (P) sao cho \left| 3\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} \right| đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = 9a + 3b + 6c.

    Hướng dẫn:

    Gọi I( - 3; - 2;8) là điểm thỏa mãn 3\overrightarrow{IA} - 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}. Ta tìm hình chiếu của I trên(P). Ghi - \frac{x + y + z - 1}{3} CALC (nhập tọa độ I) - 3 = - 2 = 8 = \ \ = STO M.

    Ghi 9(M + x) + 3(M + y) + 6(M + z) bấm = kết quả 3.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian xét mặt cầu (S) đi qua hai điểm A(1;2;1), B(3;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (P):x - y - 3 = 0. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu (S) là

    Hướng dẫn:

    Tâm I mặt cầu thuộc mặt phẳng trung trực của AB có phương trình (Q):x + z = 4. Do đó từ phương trình của (P) và (Q) ta có tọa độ I(x;x - 3;4 - x), suy ra:

    R = AI = \sqrt{(x - 1)^{2} + (x - 5)^{2} + (x - 3)^{2}}

    = \sqrt{3x^{2} - 18x + 35} \geq 2\sqrt{2}.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;\ 1;\ - 1), B(0;\ - 2;\ 3) và mặt cầu (S):(x + 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 1. Khi điểm M thay đổi thuộc (S), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức MA^{2} + 2MB^{2}.

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Phương pháp véc tơ.

    Gọi I( - 1;0;1) là tâm mặt cầu, ta có \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = (6; - 3;2) = \overrightarrow{IK}.

    Ta có :

    T = MA^{2} + 2MB^{2} = 3MI^{2} + IA^{2} + 2IB^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} = 42 + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}.

    Vậy để tổng lớn nhất thì \overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK} cùng hướng.

    Nên \max T = 42 + 2.1.7 = 56.

    Cách 2. Khảo sát – Khử bậc hai đưa về mặt phẳng.

    Gọi M(x;y;z), ta có:

    T = (x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} + 2\left\lbrack x^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} \right\rbrack

    T = 3\left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) - 6x + 6y - 10z + 37

    = 3( - 1 - 2x + 2z) - 6x + 6y - 10z + 37

    \Leftrightarrow - 12x + 6y - 4z + 34 - T = 0

    \Rightarrow d\left( I,(P) \right) = \frac{|T - 42|}{14} \leq 1 \Rightarrow T \leq 14 + 42 = 56.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

    Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A( - 2;\ \ \ 2;\ \ \ 3);\ B(1;\ \ - \ 1;\ \ 3);\ C(3;\ \ \ 1;\ \ - 1). Điểm M\ \in \ (P):\ x + 2z - 8 = 0 sao cho giá trị của biểu thức T = 2MA^{2} + MB^{2}\ + \ 3MC^{2} nhỏ nhất. Khi đó điểm M cách (Q):\ - x + 2y - 2z - 6 = 0 một khoảng bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi I(1;1;1) là điểm thỏa mãn 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}. Ta tìm M là hình chiếu của I trên(P).

    Ghi - \frac{x + 0y + 2z - 8}{5} CALC (nhập tọa độ I) 1 = 1 = 1 = \ \ = STO M.

    Ghi \frac{| - x + 2y - 2z - 6|}{3} CALC nhập M + x = 0M + y = 2M + z = \ \ = kết quả 4.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;\ 2;\ 3),\ B(0;\ 1;\ 1),\ C(1;\ 0;\ - \ 2) và mặt phẳng (P):\ x\ + \ y\ + \ z\ + \ 2\ = \ 0. Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị của biểu thức T\ = \ MA^{2}\ + \ 2MB^{2}\ + \ 3MC^{2} nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q):\ 2x\ - \ y\ - \ 2z\ + \ 3\ = \ 0?

    Hướng dẫn:

    Gọi I\left( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{- 1}{6} \right) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}. Ta tìm hình chiếu của I trên(P). Ghi - \frac{x + y + z + 2}{3} CALC (nhập tọa độ I) \frac{2}{3} = \frac{2}{3} = \frac{- 1}{6} = \ \ = STO M.

    Ghi \frac{\left| 2(M + x) - (M + y) - 2(M + z) + 3 \right|}{3} bấm = kết quả \frac{91}{54}.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính giá trị củabiểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho(P): x - y + z + 1 = 0,A(1;1;1) , B(0;1;2),C( - 2;0;1) vàM(a;b;c) \in (P) sao cho S = 2MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. giá trị (3a + 2b + c) bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi I\left( 0;\frac{3}{4};\frac{5}{4} \right) là điểm thỏa mãn 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}. Ta tìm hình chiếu của I trên(P). Ghi - \frac{x - y + z + 1}{3} CALC (nhập tọa độ I) 0 = \frac{3}{4} = \frac{5}{4} = \ \ = STO M.

    Bấm 3(M + x) + 2( - M + y) + (M + z) bấm = kết quả \frac{7}{4}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;3;3) và mặt phẳng (P):2x + 2y + z - 14 = 0. Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của 2MO^{2} + MA^{2} là

    Hướng dẫn:

    Gọi I là điểm thỏa mãn 2\overrightarrow{IO} + \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0}, tọa độ I(1;1;1) và tìm hình chiếu của I trên(P). Ghi - \frac{2x + 2y + z - 14}{9} CALC (nhập tọa độ I) 1 = 1 = 1 = \ \ = STO M.

    Ghi 2\left( (2M + x)^{2} + (2M + y)^{2} + (M + z)^{2} \right)

    + (2M + x - 3)^{2} + (2M + y - 3)^{2} + (M + z - 3)^{2}

    Bấm = ta được 45.

  • Câu 13: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng (P)

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Ta có \min V_{OABC} = \frac{1}{6}.abc tại : \frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 6,b = c = 3.

    Khi đó phương trình (P): \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 6 = 0.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho A(15;\ - 1;\ 4), B(7;\ 6;\ 3), C(6;\ - 3;\ 6), D(8;\ 14;\ - 1) và M(a;\ b;\ c) thuộc mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0. Giá trị của biểu thức P = a + b + c khi MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2} đạt giá trị nhỏ nhất?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(1 ; -2 ; 3) là tâm mặt cầu, ta có:

    \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = (32;24;0) = \overrightarrow{IK}

    Ta có:

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} + MD^{2}

    = 4MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + IC^{2} + ID^{2} + 2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK}

    Vậy để tổng nhỏ nhất thì \overrightarrow{MI},\overrightarrow{IK} ngược hướng nhau

    \Leftrightarrow \overrightarrow{IM} = t\overrightarrow{IK} = t(32;24;0),t > 0 nên t = \frac{R}{IK} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}

    \Rightarrow \overrightarrow{IM} = \frac{1}{8}(32;24;0) = (4;3;0)

    \Rightarrow M(5;1;3) \Rightarrow a + b + c = 9.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính tổng a + b +c

    Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1\ ;\ 4\ ;\ 5), B(3\ ;\ 4\ ;\ 0), C(2\ ;\ - 1\ ;\ 0) và mặt phẳng (P):3x - 3y - 2z - 12 = 0. Gọi M(a\ ;\ b\ ;\ c) thuộc (P) sao cho MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2} đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Gọi I(2;1;1) là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + 3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}.

    Đặt T = MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2}, ta có:

    T = 5MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} + 3IC^{2} nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).

    Ghi - \frac{3x - 3y - 2z - 12}{22} CALC nhập tọa độ I, STO M bấm AC

    Ghi (3M + x) + ( - 3M + y) + ( - 2M + z) = kết quả bằng 3.

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (13%):
    2/3
  • Thông hiểu (87%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
2 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này