Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Quỹ tích Vị trí tương đối trong không gian Oxyz – Phần 1

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Các dạng bài quỹ tích trong không gian thường gặp trong đề thi THPT

Chuyên đề quỹ tích và vị trí tương đối trong không gian Oxyz là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12. Bài viết cung cấp bộ câu hỏi trắc nghiệm phần 1 giúp bạn luyện tập hiệu quả và nắm chắc phương pháp giải.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 25 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 25 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(2;2;2) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y + 4z - 10 = 0. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A,\ B và cắt (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Đường thẳng AB cắt (C) tại hai điểm E,\ F. Điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác MEF cân tại M, MHlà đường cao ứng với cạnh EF. Khi (C) có diện tích nhỏ nhất thì phương trình của MH là

    Hướng dẫn:

    Nhận xét điểm A nằm trong mặt cầu, điểm B nằm ngoài mặt cầu. Điểm M là trung điểm cung \widehat{EF}. Gọi K là tâm đường tròn (C) thì KM cắt EF tại H, ta cần viết phương trình KM.

    Khi hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất thì bán kính KE nhỏ nhất, khi đó mặt phẳng (P) cách xa tâm I nhất. Mà IK \leq IH nên ta có K \equiv Hsuy ra \overrightarrow{IH} là vtpt của mp(P).

    Ta có I(1;1; - 2), \overrightarrow{AB} = (1;1;1). Ghi \frac{x + y + z}{3} CALC nhập 0 = 0 = - 3 = Sto M

    Bấm 1 + M:1 + M:1 + M = \ = \ =ta có H(0;0;0) suy ra \overrightarrow{IH} = ( - 1; - 1;2).

    Ta lại có \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{IH} \right\rbrack nên \overrightarrow{u_{\Delta}} = ( - 1;1;0).

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏnhất của m

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;3;5), B(1;2;4) và mặt cầu \left( S_{m} \right):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4}. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để trên \left( S_{m} \right) tồn tại điểm M sao cho MA^{2} - MB^{2} = 9.

    Hướng dẫn:

    Gọi M(x;y;z), ta có:

    (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 5)^{2} - (x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} - (z - 4)^{2} = 9

    Suy ra M \in (P):x + y + z - 4 = 0.

    Mặt khác M \in \left( S_{m} \right) có tâm I(1;1;m),R^{2} = \frac{m^{2}}{4} nên d^{2} \leq R^{2} \Leftrightarrow \frac{(m - 2)^{2}}{3} \leq \frac{m^{2}}{4}.

    Giải ra ta có 8 - 4\sqrt{3} \leq m \leq 8 + 4\sqrt{3}.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S):\ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 tại điểm M có tọa độ dương. Mặt phẳng (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = \left( 1 + OA^{2} \right)\left( 1 + OB^{2} \right)\left( 1 + OC^{2} \right) là:

    Hướng dẫn:

    Do tính đối xứng nên T nhỏ nhất khi a = b = c > 0. Khi đó phương trình (P) theo đoạn chắn là: x + y + z - a = 0.

    Điều kiện tiếp xúc d\left( O,(P) \right) = \frac{|a|}{\sqrt{3}} = R = 1 \Rightarrow a = \sqrt{3}.

    Vậy \min T = \left( 1 + a^{2} \right)^{3} = 4^{3} = 64.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính diện tích lớn nhất

    Trong không gian Oxyz, cho điểm M\left( \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0 \right) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8. Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệtA,B. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB.

    S = \sqrt{7}.(META)

    Hướng dẫn:

    Gọi H là trung điểm AB, giả sử M thuộc đoạn HB, thì S_{OAB} = OH.AH.

    Mà OH \leq OM và AH \leq AM, suy ra: S_{\max} = OM.AM = 1.\sqrt{R^{2} - OM^{2}} = \sqrt{7}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - y + 2 = 0 và hai điểm A(1;\ 2;\ 3), B(1;0;1). Điểm C(a;\ b;\ - 2) \in (P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a + b.

    Hướng dẫn:

    Gọi C(x;\ x + 2;\ - 2) \in (P), ta có: \overrightarrow{BA} = (0;2;2),\overrightarrow{BC} = (x - 1;x + 2; - 3).

    Từ đó diện tích ABC là :

    S = \frac{1}{2}\sqrt{8\left\lbrack (x - 1)^{2} + (x + 2)^{2} + 9 \right\rbrack - (2x - 2)^{2}}= \sqrt{3x^{2} + 6x + 27} \geq 2\sqrt{6}.

    \min S = 2\sqrt{6} \Leftrightarrow x = - 1\Leftrightarrow C( - 1;\ 1;\ - 2) \Rightarrow a + b = 0.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16 và các điểm A(1;0;2), B( - 1;2;2). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của (P) với mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng (P):ax + by + cz + 3 = 0. Tính T = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm mặt cầu, H là tâm đường tròn giao tuyến và là hình chiếu của I trên (P), kẻ IK vuông góc với AB. Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi (P) cách xa I nhất, mà IH \leq IK.

    Vậy ta phải có H \equiv K và (P) có một vtpt \overrightarrow{IK}.

    Ghi \frac{2(x - 1) - 2y + 0(z - 2)}{8} CALC (nhập tọa độ I) 1 = 2 = 3 = STO M

    ghi 1 + 2M - 1\ \ :\ \ - 2M - 2\ \ :\ \ 2 + 0M - 3 bấm = \ \ = \ \ = ta có tọa độ véc tơ \overrightarrow{IK} = ( - 1; - 1; - 1)

    \Rightarrow (P): - x - y - z + 3 = 0 \Rightarrow a + b + c = - 3.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(0;1; - 1). Hai điểm D,E thay đổi trên các đoạn OA,OB sao cho đường thẳng DE chia tam giác OAB thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi DE ngắn nhất thì trung điểm của đoạn DEcó tọa độ là

    Hướng dẫn:

    Ta có OA = OB = \sqrt{2} nên tam giác OAB cân tại O, do vai trò ngang nhau nên DE nhỏ nhất khi OD = OE.

    Tỉ số diện tích \frac{S_{ODE}}{S_{OAB}} = \left( \frac{OD}{OA} \right)^{2} = \frac{1}{2}, suy ra \overrightarrow{OD} = \frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OE} = \frac{1}{\sqrt{2}}\overrightarrow{OB}

    Từ đó: \overrightarrow{OI} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} \right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right), suy ra tọa độ I\left( \frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4};0 \right).

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính bán kính nhỏ nhất của mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng (P):x + 2y + z - 7 = 0 và đi qua hai điểm A(1\ ;\ 2\ ;\ 1), B(2\ ;\ 5\ ;\ 3). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng

    Hướng dẫn:

    Phương trình trung trực của AB là (Q):x + 3y + 2z = 16. Suy ra tâm I mặt cầu thuộc đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).

    Phương trình d:\frac{x + 2}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 9}{1}.

    Ta có \min R = \min IA = d(A,d), ghi \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \frac{(x - y + z)^{2}}{3}} CALC nhập 3 = 2 = -8 = kết quả \frac{\sqrt{546}}{3}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;7), B\left( \frac{- 5}{7};\frac{- 10}{7};\frac{13}{7} \right). Gọi (S) là mặt cầu tâm I đi qua hai điểm A, B sao cho OI nhỏ nhất. M(a;b;c) là điểm thuộc (S), giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2a - b + 2c là

    Hướng dẫn:

    Phương trình trung trực của BA là (P):\frac{12}{7}x + \frac{24}{7}y + \frac{36}{7}z = \frac{54 - \frac{25 + 100 + 169}{49}}{2} = 24.

    Hay rút gọn thành (P):x + 2y + 3z - 14 = 0.

    Vì OI nhỏ nhất nên I là hình chiếu của O trên (P), ở đây dễ tìm được I(1;2;3). Suy ra R = IA = 4.

    Từ đó:

    T = 6 + 2(a - 1) - (b - 2) + 2(c - 3)\leq 6 + \sqrt{9\left\lbrack (a - 1)^{2} + (b - 2)^{2} + (c - 3)^{2} \right\rbrack} = 18.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm giá trị lớn nhất diện tích tam giác

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 6z + 7 = 0. Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu (S) sao cho \widehat{AMB} = 90{^\circ}. Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng?

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu có bán kính R = \sqrt{1 + 1 + 9 - 7} = 2.

    Tam giác AMB vuông tại M nên để diện tích lớn nhất thì AB là đường kính mặt cầu. Ta có:

    S_{AMB} = \frac{1}{4}.2AM.BM \leq \frac{1}{4}\left( AM^{2} + BM^{2} \right) = \frac{1}{4}AB^{2} = 4.

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} + (z - 3)^{2} = 27 và đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Phương trình của (P) là ax + by - z + c = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm mặt cầu, H là tâm đường tròn giao tuyến và là hình chiếu của I trên (P).

    Kẻ IK vuông góc với d.

    Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi (P) cách xa I nhất, mà IH \leq IK.Vậy ta phải có H \equiv K và (P) có một vtpt \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{IK}.

    Ghi \frac{2(x - 1) + y + 2(z - 2)}{9} CALC (nhập tọa độ I) 2 = 5 = 3 = \ = STO M

    ghi 1 + 2M - 2\ \ :\ \ M - 5\ \ :\ \ 2 + 2M - 3 bấm = \ \ = \ \ = ta có tọa độ véc tơ \overrightarrow{IK} = (1; - 4;1) \Rightarrow (P): - x + 4y - z + 3 = 0

    \Rightarrow a + b + c = - 1 + 4 + 3 = 6.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính giá trị y0

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4y - 2z = 0 và điểm M(0;1;0). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt (S) theo đường tròn (C) có chu vi nhỏ nhất. Gọi N(x_{0};\ y_{0};\ z_{0}) là điểm thuộc đường tròn (C) sao cho ON = \sqrt{6}. Tính y_{0}.

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu có tâm I( - 1;2;1),R = \sqrt{6}.

    Hạ IH vuông góc với (P) thì IH \leq IM. Để đường tròn giao tuyến có chu vi nhỏ nhất thì I cách xa (P) nhất, như thế ta phải có \overrightarrow{IH} \equiv \overrightarrow{IM} và là vtpt của (P).

    Phương trình (P):x - y - z = - 1.

    Ta có NO = NI = \sqrt{6} = R nên N thuộc mặt phẳng trung trực của OI, phương trình là:

    (Q): - x + 2y + z = 3.

    Suy ra N thuộc d là giao tuyến của (P) và (Q), cộng các vế ta được y = 2.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính giá trị nhỏ nhất của OI

    Trong không gian Oxyz, cho A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a,b,c là các số thực thay đổi, khác 0 và thỏa mãn a + b + c = 6. Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là I. Giá trị nhỏ nhất của OI bằng:

    Hướng dẫn:

    Gọi I(x;\ y;\ z) là tâm mặt cầu ngoại tiếp OABC, nếu dựng thêm hình hộp chữ nhật có ba cạnh OA, OB, OC thì I là tâm của hình hộp, hay ta có I(x;\ y;\ z) = I\left( \frac{a}{2};\ \frac{b}{2};\ \frac{c}{2} \right).

    Suy ra x + y + z = \frac{a + b + c}{2} = 3

    \Rightarrow OI = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \geq \sqrt{\frac{1}{3}(x + y + z)^{2}} = \sqrt{3}.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Viết phương trình mặt cầu

    Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho hai mặt phẳng (P):x - y - z + 6 = 0; (Q):2x + 3y - 2z + 1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn tâm H( - 1;2;3), bán kính r = 8 và cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất. Phương trình mặt cầu (S) là:

    Hướng dẫn:

    Gọi I là tâm mặt cầu (S), I thuộc (Q) thì (S) cắt (Q) giao tuyến là đường tròn lớn.

    Mặt khác điểm I thuộc đường thẳng d qua H và vuông góc với (P) nên có tọa độ I( - 1 + x;2 - x;3 - x), cho thuộc (Q) suy ra x = 1.

    Suy ra I(0;1;2) và R^{2} = 3x^{2} + r^{2} = 67.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏnhất của T

    Trong không gian Oxyz, điểm M(x; y; z) di động trên d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (\alpha):3x - y + 4z + 1 = 0 và (\beta):2x + 3y + z + 7 = 0. Tìm giá nhỏ nhất của T = x^{2} + y^{2} + z^{2}

    Hướng dẫn:

    Ta có T = x^{2} + y^{2} + z^{2} = OM^{2} đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất và chính là khoảng cách từ O đến d. Ta có: \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack = ( - 13;5;11).

    Phương trình mp(P) qua O và vuông góc với d là - 13x + 5y + 11z = 0.

    Giải hệ ba ẩn bởi ba mặt phẳng, ta được M\left( \frac{- 7}{9};\frac{- 16}{9};\frac{- 1}{9} \right) nên T = \frac{34}{9}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Viết phương trình mặt phẳng

    Cho mặt cầu (S):\ \ x^{2} + y^{2} + 8x - 6y - 4z - 11 = 0 và hai điểm A(1;2;3),B( - 1;2;0). Gọi (P)là mặt phẳng chứa A, B và khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (P).

    Hướng dẫn:

    Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mp(P) và đường thẳng AB, ta có IH \leq IK nên IH lớn nhất bằng IK hay \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{n_{P}}.

    Tọa độ điểm I(- 4; 3; 2), \overrightarrow{BA} =(2; 0; 3).

    Ghi \frac{2x + 0y + 3z}{4 + 9} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{AI}) - 5 = 1 = - 1 = \ = Sto M ghi 1 + 2M + 4:2 + 0M - 3:3 + 3M - 2 bấm = \ = \ = ta có \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{n_{P}} = (3; - 1; - 2).

    Phương trình (P) là: 3x - y - 2z + 5 = 0.

  • Câu 17: Vận dụng
    Tính tổng S

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) lần lượt có phương trình là x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2y - 2z - 22 = 0, x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x + 4y + 2z + 5 = 0. Xét các mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi M(a;b;c) là điểm mà tất cả các mp(P) đi qua. Tính tổng S = a + b + c.

    Hướng dẫn:

    Các mặt cầu: \left( S_{1} \right)có tâm I_{1}(1;1;1),R_{1} = 5, \left( S_{2} \right)có tâm I_{2}(3; - 2; - 1),R_{2} = 3.

    Ta có I_{1}I_{2} = \sqrt{17} < R_{1} + R_{2} nên \left( S_{1} \right),\left( S_{2} \right) cắt nhau.

    Các mặt phẳng (P) luôn đi qua điểm M thuộc đường thẳng I_{1}I_{2} thỏa mãn \overrightarrow{MI_{1}} = \frac{5}{3}\overrightarrow{MI_{2}}. Tọa độ M\left( 6; - \frac{13}{2}; - 4 \right).

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm điểm thuộc đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;\ 3;\ - 2). Xét đường thẳng d thay đổi song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến dnhỏ nhất, dđi qua điểm nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Để khoảng cách từ A đến dnhỏ nhất thì điểm A, d và trục Oz đồng phẳng và khi đó: d(A,d) = d(A,Oz) - d(d,Oz) = 1.

    Phương trình d:x = 0,y = 2,z = t. Khi đó d đi qua điểm Q(0;\ 2;\ - 5).

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3) và B(6;5;5). Xét khối nón (N) có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình dạng 2x + by + cz + d = 0. Giá trị của b + c + d bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi h = IH = d\left( I,(P) \right) , r là bán kính đáy nón, R = IA = 3 là bán kính mặt cầu.

    Ta có AH = 3 + h,\ \ r^{2} = 9 - h^{2} và thể tích khối nón là: V = \frac{1}{3}\pi(3 + h)(9 - h^{2}).

    Ta có : (3 + h)(3 + h)(6 - 2h) \leq\left( \frac{3 + h + 3 + h + 6 - 2h}{3} \right)^{3} = 64\Rightarrow V\leq \frac{1}{6}\pi.64 = \frac{32\pi}{3}.

    Dấu bằng có khi 3 + h = 6 - 2h \Rightarrow h = 1 \Rightarrow AH = 4.

    Mặt phẳng (P) chứa đường tròn đáy của nón có \overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (2;2;1).

    Đặt \overrightarrow{AH} = t(2;2;1),t > 0 suy ra t = \frac{4}{3}

    \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left( \frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{4}{3} \right) \Rightarrow H\left( \frac{16}{3};\frac{11}{3};\frac{10}{3} \right).

    Phương trình (P) là: 2x + 2y + z - 18 = 0. Vậy b + c + d = - 15.

  • Câu 20: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;1; - 2), mặt phẳng (P):x + y + z + 1 = 0 và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 4y - 7 = 0. Gọi \Delta là đường thẳng đi qua A nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B,\ Csao cho tam giác IB\ C có diện tích lớn nhất với I là tâm của mặt cầu (S). Phương trình của \Delta là

    Hướng dẫn:

    Nhận xét điểm A nằm bên trong mặt cầu, giao tuyến của (P) và (S) là một đường tròn tâm H bán kính r không đổi. Gọi K là trung điểm của BC thì:

    S_{IB\ C} = BK.IK = BK.\sqrt{IH^{2} + HK^{2}}.

    Ta có BK \leq BA và HK \leq HA, suy ra

    S_{\max} = BA.\sqrt{IH^{2} + HA^{2}} \Leftrightarrow K \equiv A \Rightarrow \Delta\bot HA. Tọa độ I(1;2;0).

    Ghi - \frac{x + y + z + 1}{3} CALC nhập 1 = 2 = 0 = \ = Sto M, bấm M + x:M + y:M + z = \ = \ =

    Ta được H(0;1; - 1) \Rightarrow \overrightarrow{HA} = (0;0; - 1) suy ra \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{HA} \right\rbrack = (1; - 1;0).

  • Câu 21: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 27. Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;0; - 4),B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S) và đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết rằng (\alpha):ax + by - z + c = 0. Tính P = a - b + c

    Hướng dẫn:

    Gọi H là tâm đường tròn (C) bán kính r, I là tâm mặt cầu bán kính R. Đặt IH = h.

    Ta có r^{2} = R^{2} - h^{2} và thể tích khối nón đỉnh I là V = \frac{1}{3}h\pi r^{2} = \frac{1}{3}\pi h(R^{2} - h^{2}).

    Suy ra maxV = \frac{2R^{3}\pi\sqrt{3}}{27} = 18\pi \Leftrightarrow h = \frac{R}{\sqrt{3}} = 3.

    Mặt phẳng (\alpha):ax + by - z + c = 0 đi qua hai điểm A, B nên ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 4 + c = 0 \\ 2a + c = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = - 4 \\ a = 2 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow (\alpha):2x + by - z - 4 = 0, do đó h = d(I,(\alpha)) = \frac{|2b + 5|}{\sqrt{5 + b^{2}}} = 3 \Rightarrow b = 2

    Vậy P = a - b + c = - 4.

  • Câu 22: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; - 2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25. Mặt phẳng (P):ax + by + cz - 2 = 0 đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c

    Hướng dẫn:

    Gọi I(1\ ;\ 2\ ;\ 3) là tâm mặt cầu. Kẻ IH,IK lần lượt vuông góc với (P) và AB thì ta có IH \leq IK, do đó để đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất thì (P) cách xa tâm I nhất, hay \max d\left( I,(P) \right) = IK, khi đó \overrightarrow{IK} là một VTPT của (P).

    Ghi \frac{x - y + 2z}{6} CALC nhập 1 = 1 = 3 = \ = STO M, bấm AC ghi M - 1: - M - 1:2M - 3 bấm = \ \ = \ \ = ta được \overrightarrow{IK} = (0; - 2; - 1), suy ra (P):0x + 2y + z - 2 = 0.

  • Câu 23: Vận dụng
    Tính a +b

    Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;3), mặt phẳng (P):x + my + (2m + 1)z - m - 2 = 0, m là tham số thực. Gọi H(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P). Khi khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất, tính a + b.

    Hướng dẫn:

    Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng cố định d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{- 1}.

    Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với (P) và d, khi đó AH \leq AK nên khoảng cách AH lớn nhất bằng AK.

    Ta cần xác định H(a;b;c) là hình chiếu của A trên d, khi đó a + b = 3 + 3t.

    Ghi \frac{x + 2y - z}{6} bấm CALC nhập 0 = 0 = 3 = \ = ta được t = - \frac{1}{2} nên a + b = \frac{3}{2}.

  • Câu 24: Thông hiểu
    Tính bán kính r của đường tròn

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A( - 3;1;1),\ \ B(1; - 1;5) và mặt phẳng (P):2x - y + 2z + 11 = 0. Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A,B và tiếp xúc với (P) tại điểm C. Biết C thuộc một đường tròn (T) cố định. Tính bán kính r của đường tròn (T).

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{AB} = (4; - 2;4) = 2(2; - 1;2) = 2\overrightarrow{n_{P}} nên AB vuông góc với (P).

    Gọi D là giao điểm của AB và (P), theo tính chất cát tuyến và tiếp tuyến, ta có : DC^{2} = DA.DB không đổi, do đó r = DC = \sqrt{DA.DB}.

    Với DA = d\left( A,(P) \right) = 2,DB = d\left( B,(P) \right) = 8, suy ra r = \sqrt{2.8} = 4.

  • Câu 25: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P):x + 3y - z - 1 = 0 và các điểm A(1;0;0);B(0; - 2;3). Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, ta có BK \leq BA nên khoảng cách lớn nhất khi d vuông góc với BA, d nằm trong (\alpha), suy ra \overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{BA},\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack.

    MENU 9 1 2 nhập 1 = 2 = 3 = và 1 = 3 = 1 = ta có x = 7, y = -2 nên \overrightarrow{u_{d}} = (7; - 2;1).

0/25
25 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (24%):
    2/3
  • Thông hiểu (72%):
    2/3
  • Vận dụng (4%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
10 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này