Trắc nghiệm Toán 12 Quỹ tích Vị trí tương đối trong không gian Oxyz – Phần 1

Nhận xét điểm A nằm trong mặt cầu, điểm B nằm ngoài mặt cầu. Điểm M là trung điểm cung . Gọi K là tâm đường tròn thì KM cắt EF tại H, ta cần viết phương trình KM.

Khi hình tròn có diện tích nhỏ nhất thì bán kính KE nhỏ nhất, khi đó mặt phẳng (P) cách xa tâm I nhất. Mà nên ta có suy ra là vtpt của mp(P).

Ta có , . Ghi CALC nhập Sto M

Bấm ta có suy ra .

Ta lại có nên .

Nhận xét điểm A nằm bên trong mặt cầu, giao tuyến của (P) và (S) là một đường tròn tâm H bán kính r không đổi. Gọi K là trung điểm của BC thì:

.

Ta có và , suy ra

. Tọa độ .

Ghi CALC nhập Sto M, bấm

Ta được suy ra .

Phương trình trung trực của AB là . Suy ra tâm I mặt cầu thuộc đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q).

Phương trình .

Ta có , ghi CALC nhập 3 = 2 = -8 = kết quả .

Ta có đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất và chính là khoảng cách từ O đến d. Ta có: .

Phương trình mp(P) qua O và vuông góc với d là .

Giải hệ ba ẩn bởi ba mặt phẳng, ta được nên .

Ta có nên vuông góc với .

Gọi D là giao điểm của và , theo tính chất cát tuyến và tiếp tuyến, ta có : không đổi, do đó .

Với , suy ra .

Gọi I là tâm mặt cầu, H là tâm đường tròn giao tuyến và là hình chiếu của I trên (P).

Kẻ IK vuông góc với d.

Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi (P) cách xa I nhất, mà .Vậy ta phải có và (P) có một vtpt .

Ghi CALC (nhập tọa độ I) STO M

ghi bấm ta có tọa độ véc tơ

.

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mp(P) và đường thẳng AB, ta có nên IH lớn nhất bằng IK hay .

Tọa độ điểm I(- 4; 3; 2), (2; 0; 3).

Ghi CALC (nhập tọa độ ) Sto M ghi bấm ta có .

Phương trình (P) là: 3x - y - 2z + 5 = 0.

Các mặt cầu: có tâm , có tâm .

Ta có nên cắt nhau.

Các mặt phẳng luôn đi qua điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn . Tọa độ .

Mặt cầu có bán kính .

Tam giác vuông tại M nên để diện tích lớn nhất thì AB là đường kính mặt cầu. Ta có:

.

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp , nếu dựng thêm hình hộp chữ nhật có ba cạnh OA, OB, OC thì I là tâm của hình hộp, hay ta có .

Suy ra

.

Gọi , ta có: .

Từ đó diện tích ABC là :

.

.

Gọi H là trung điểm AB, giả sử M thuộc đoạn HB, thì .

Mà và , suy ra: .

Gọi I là tâm mặt cầu , I thuộc thì cắt giao tuyến là đường tròn lớn.

Mặt khác điểm I thuộc đường thẳng d qua H và vuông góc với nên có tọa độ , cho thuộc suy ra

Suy ra và

Gọi I là tâm mặt cầu, H là tâm đường tròn giao tuyến và là hình chiếu của I trên (P), kẻ IK vuông góc với AB. Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi (P) cách xa I nhất, mà .

Vậy ta phải có và (P) có một vtpt .

Ghi CALC (nhập tọa độ I) STO M

ghi bấm ta có tọa độ véc tơ

.

Gọi là tâm mặt cầu. Kẻ lần lượt vuông góc với và thì ta có , do đó để đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất thì cách xa tâm I nhất, hay , khi đó là một VTPT của .

Ghi CALC nhập STO M, bấm AC ghi bấm ta được , suy ra .

Do tính đối xứng nên T nhỏ nhất khi . Khi đó phương trình theo đoạn chắn là: .

Điều kiện tiếp xúc .

Vậy .

Gọi , ta có:

Suy ra .

Mặt khác có tâm nên .

Giải ra ta có .

Gọi , r là bán kính đáy nón, là bán kính mặt cầu.

Ta có và thể tích khối nón là: .

Ta có : .

Dấu bằng có khi .

Mặt phẳng (P) chứa đường tròn đáy của nón có .

Đặt suy ra

.

Phương trình (P) là: Vậy

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng cố định .

Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với (P) và d, khi đó nên khoảng cách AH lớn nhất bằng AK.

Ta cần xác định là hình chiếu của A trên d, khi đó .

Ghi bấm CALC nhập ta được nên .

Mặt cầu có tâm .

Hạ vuông góc với thì . Để đường tròn giao tuyến có chu vi nhỏ nhất thì I cách xa (P) nhất, như thế ta phải có và là vtpt của (P).

Phương trình .

Ta có nên N thuộc mặt phẳng trung trực của OI, phương trình là:

.

Suy ra N thuộc d là giao tuyến của (P) và (Q), cộng các vế ta được .

Phương trình trung trực của BA là .

Hay rút gọn thành .

Vì nhỏ nhất nên I là hình chiếu của O trên (P), ở đây dễ tìm được . Suy ra .

Từ đó:

.

Ta có nên tam giác cân tại O, do vai trò ngang nhau nên nhỏ nhất khi .

Tỉ số diện tích , suy ra

Từ đó: , suy ra tọa độ .

Gọi H là tâm đường tròn (C) bán kính r, I là tâm mặt cầu bán kính R. Đặt IH = h.

Ta có và thể tích khối nón đỉnh I là .

Suy ra .

Mặt phẳng đi qua hai điểm A, B nên ta có:

, do đó

Vậy