Trắc nghiệm Toán 12 Quỹ tích Vị trí tương đối trong không gian Oxyz – Phần 3

Điểm M thuộc đường tròn giao tuyến của với mặt cầu đường kính AB nên MB có giá trị lớn nhất bằng đường kính của đường tròn giao tuyến, hay M là hình chiếu vuông góc của A trên .

Ta có

Ghi CALC (nhập tọa độ A) 1 = 2 = - 3 = = Sto D. Bấm 🞁 sửa thành

CALC (nhập tọa độ ) 3 = 4 = - 4 = = Sto E.

Ghi ta có kết quả

Mặt cầu có tâm , bán kính . Ta lại có .

Khi đó là tiếp điểm và nằm trong tiếp diện của mặt cầu tại .

Phương trình tiếp diện là .

Hạ thì do đó cần tìm là đường thẳng .

Ghi CALC nhập STO M,

ghi M + x – 2 : 2M + y – 1 : 2M + z + 2 bấm = = = suy ra .

Theo giả thiết thì M thuộc mặt cầu dường kính AB, tâm I là trung điểm AB. Gọi H là tâm đường tròn giao tuyến thì M thuộc đường tròn tâm H, có B cố định nên MB lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn tâm H, hay M là hình chiếu vuông góc của A trên . Ta cần viết phươmh trình đường thẳng BM.

Vào MENU 9 1 2 nhập ta có là vtpt của mp(Q) chứa A, B và vuông góc với (P).

Phương trình .

Từ các phương trình (P) và (Q), cho , cũng là phương trình của MB, và đi qua điểm .

Nhận xét.

Đây là bài toán rất tốt để rèn luyện kiến thức về tọa độ không gian Oxyz, đòi hỏi đầy đủ về điểm - Đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu - giao tuyến - hình chiếu - vuông góc - song song tức là kiến thức khá cơ bản và tổng hợp trong một bài toán. Ngoài ra không kém phần trừu tượng, do đó cũng cần đòi hỏi kỹ năng giải nhanh, có thể không khó nhưng giải thông thường thì tốn khá nhiều thời gian.

Mặt cầu có tâm , bán kính ; . có vtcp không đổi, .

Gọi H là hình chiếu của M trên (P).

Đặt , ta có nên

Ta có .

Vậy

Gọi là trung điểm AB, là trung điểm của CD. Ta có:

.

Suy ra M thuộc mặt cầu tâm I bán kính .

Tương tự M thuộc mặt cầu tâm K, bán kính .

Do đó M thuộc đường tròn giao tuyến, bán kính .

Viết lại mặt phẳng (P) thành: do đó (P) luôn đi qua một đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng và .

Phương trình của là . Gọi M là điểm chiếu vuông góc của A trên (P), I là hình chiếu của A trên d thì AM vuông góc với IM nên M thuộc mặt cầu đường kính AI.

Ta có

.

Khi m = 1/27 thì AM = 0, nghĩa là .

Giả sử , trong mặt phẳng thì .

Trên lấy điểm và hạ vuông góc với và . Khi đó là góc giữa và .

Ta có , dấu bằng có khi .

Khi đó nên .

Tính được hoặc chọn .

Suy ra do đó phương trình .

Vậy .

Viết lại , cộng theo vế với ta được:

mp, đây là mặt phẳng vuông góc với mp() và chứa .

Mặt cầu có tâm , bán kính sao cho .

Ta có:

.

Chọn ta được với mọi m.

Khi đó

Giả sử , trên lấy điểm và hạ vuông góc với và sao cho đường thẳng . Khi đó là góc giữa và .

Ta có , dấu bằng có khi . Khi đó .

Ta có đường thẳng là giao tuyến của chứa và vuông góc .

nên .

Cách 1. Trắc nghiệm Casio.

Ta kiểm được các mặt phẳng đều chứa d (có và đi qua điểm ). Tính CALC nhập vtpt trong đáp án, .

Cách 2. Khử dần ẩn.

Giả sử vtpt vuông góc nên

. Ta có:

, với .

Do vai trò ngang nhau, khi thì .

Chọn và phương trình .

Nhận xét.

Trong cách 2, ta khử dần ẩn từ về còn hai ẩn ; Tổng quát: phải xét trường hợp rồi chia cả tử và mẫu cho để đưa về một ẩn , tiếp theo là khảo sát hàm số biến . Sau đây là cách 3 sử dụng một ẩn.

Cách 3. Khảo sát.

Gọi , điểm .

.

Khi đó lớn nhất nếu Parabol nhỏ nhất: , tại .

Vậy và phương trình .

Phương pháp véc tơ.

Gọi là tâm mặt cầu, bán kính .

Ta có , đặt thì , suy ra .

Vậy .

Cách 2. Quỹ tích - Vị trí tương đối.

Trong không gian xét và điểm .

Khi đó

Gọi là tâm mặt cầu, ta có , suy ra và do đó .

Để AB nhỏ nhất thì AB cách xa tâm O nhất, gọi H là trung điểm AB thì , do đó ta cần có , suy ra .

Vậy .

Gọi là tâm mặt cầu, bán kính .

Ta thấy .

, thay bởi suy ra .

Khi đó: .

Mặt khác, suy ra .

Vậy .

Mặt cầu có tâm .

Hạ vuông góc với , .

Bán kính đường tròn giao tuyến là: .

Đường thẳng vuông góc với và cắt tại ; .

Khi đó .

Nhận xét rằng đường thẳng OA vuông góc với . Vẽ mp(P) chứa và vuông góc với OA, phương trình (P) là .

Ta thấy mp(P) đi qua O, mà mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nên hay .

Ta có thuộc mặt cầu đường kính OA có tâm , bán kính .

Mặt khác thuộc mặt phẳng (ABC) chứa A và . Phương trình

.

Vậy có .

với nên .

Cách 1. Khảo sát.

Ta có . Vào MENU 8 khảo sát hàm số, ta có khi

Cách 2. Quỹ tích - Vị trí tương đối.

Ta có luôn chứa đường thẳng cố định.

Kẻ lần lượt vuông góc với và thì ta có , do đó , khi đó là một véc tơ pháp tuyến của .

Ghi CALC nhập STO M, bấm AC ghi bấm ta được , suy ra .

Gọi I là điểm thỏa mãn

Từ ta có:

.

.

Vậy bán kính mặt cầu bằng .