Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Quỹ tích Vị trí tương đối trong không gian Oxyz – Phần 3

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Các dạng bài quỹ tích trong không gian thường gặp trong đề thi THPT

Chuyên đề quỹ tích và vị trí tương đối trong không gian Oxyz là nội dung quan trọng trong chương trình Toán 12. Bài viết cung cấp bộ câu hỏi trắc nghiệm phần 3 giúp bạn luyện tập hiệu quả và nắm chắc phương pháp giải.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính bán kính mặt cầu

    Cho hai điểm A,B cố định trong không gian có độ dài AB là 4. Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi I là điểm thỏa mãn \overrightarrow{IA} = 9\overrightarrow{IB}

    \Leftrightarrow 9\overrightarrow{IB} - \overrightarrow{IA} = \overrightarrow{0} \Rightarrow IB = \frac{1}{8}AB = \frac{1}{2},IA = \frac{9}{2}

    Từ MA = 3MB ta có:

    MI^{2} + IA^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA} = 9\left( MI^{2} + IB^{2} + 2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IB} \right).

    8MI^{2} = IA^{2} - 9IB^{2} \Rightarrow MI^{2} = \frac{9}{4} \Rightarrow MI = \frac{3}{2}.

    Vậy bán kính mặt cầu bằng \frac{3}{2}.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian Oxyz, cho (S):(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 5)^{2} = 36, điểm M(2; - 2;3). Gọi \Delta là đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu (S) tại N. Tiếp điểm N di động trên đường tròn (T) có tâm J(a,b,c). Tính giá trị P = 2a - 5b + 10c là

    Hướng dẫn:

    Phương pháp véc tơ.

    Gọi I( - 3\ ;\ 2\ ;\ 5) là tâm mặt cầu, bán kính R = 6.

    Ta có IN^{2} = \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{IM} , đặt \overrightarrow{IJ} = t\overrightarrow{IM}thì t = \frac{R^{2}}{IM^{2}} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}, suy ra \overrightarrow{IJ} = \frac{4}{5}(5; - 4; - 2) \Rightarrow J\left( 1;\frac{- 6}{5};\frac{17}{5} \right).

    Vậy P = 2a - 5b + 10c = 42.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức T

    Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9, điểm M(1;1;2) và mặt phẳng (P):x + y + z - 4 = 0. Gọi \Delta là đường thẳng đi qua điểm M, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Biết rằng \Deltacó một vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (1;a;b). Tính giá trị của biểu thức T = a + b.

    Hướng dẫn:

    Để AB nhỏ nhất thì AB cách xa tâm O nhất, gọi H là trung điểm AB thì OH \leq OM, do đó ta cần có AB\bot OM, suy ra \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{OM},\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = (1; - 1;0).

    Vậy T = a + b = - 1.

  • Câu 4: Vận dụng
    Lập phương trìnhđường thẳng

    Đường thẳng \Delta đi qua điểm M(3;\ 1;\ 1), nằm trong mặt phẳng (\alpha):x + y - z - 3 = 0 và tạo với đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 + 3t \\ z = - 3 - 2t \end{matrix} \right. một góc nhỏ nhất thì phương trình của \Delta là

    Hướng dẫn:

    Giả sử d \cap (\alpha) = A, trên d lấy điểm B và hạ BH vuông góc với (\alpha) và BK\bot KA sao cho đường thẳng AK//\Delta. Khi đó \widehat{BAK} = \varphi là góc giữa \Delta và d.

    Ta có \sin\varphi = \frac{BK}{BA} \geq \frac{BH}{BA} , dấu bằng có khi K \equiv H. Khi đó \overrightarrow{u_{\Delta}} = \overrightarrow{AH}.

    Ta có đường thẳng AH là giao tuyến của (P) chứa d và vuông góc (\alpha).

    \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = (1;2;3) nên \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right\rbrack = (5; - 4;1).

  • Câu 5: Vận dụng
    Viết phương trình đường thẳng d

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2\ ;1\ ; - 2), B(5\ ;1\ ;1) và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6y + 12z + 9 = 0. Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu có tâm I(0; - 3; - 6), bán kính R = 6. Ta lại có \overrightarrow{IA} = (2;4;4) \Rightarrow IA = 6.

    Khi đó A là tiếp điểm và d nằm trong tiếp diện của mặt cầu tại A.

    Phương trình tiếp diện là (P):x + 2y + 2z = 0.

    Hạ BH\bot(P),BK\bot d thì BK \geq BH do đó d cần tìm là đường thẳng AH.

    Ghi - \frac{x + 2y + 2z}{9} CALC nhập 5 = 1 = 1 = \ \ = STO M,

    ghi M + x – 2 : 2M + y – 1 : 2M + z + 2 bấm = = = suy ra \overrightarrow{AH} = (2; - 2;1).

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Cho x,y,z,\ a,b,c là các số thực thay đổi thỏa mãn (x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1 và a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2}.

    Hướng dẫn:

    Cách 2. Quỹ tích - Vị trí tương đối.

    Trong không gian Oxyz, xét M(x\ ;\ y\ ;\ z) \in (S):(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 1 và điểm N(a\ ;\ b\ ;\ c) \in (\alpha):x + y + z - 3 = 0.

    Khi đó P = (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = NM^{2}.

    Gọi I( - 1\ ;\ - 1\ ;\ 2) là tâm mặt cầu, ta có d\left( I,(\alpha) \right) = \sqrt{3} > R = 1, suy ra \min MN = \sqrt{3} - 1 và do đó \min P = \left( \sqrt{3} - 1 \right)^{2} = 4 - 2\sqrt{3}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Viết phương trìnhmặt phẳng

    Trong không gian hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2} và d':\frac{x + 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1}. Viết phương trình mặt phẳng (\alpha) chứa d và (\alpha) tạo với d' một góc lớn nhất là

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Trắc nghiệm Casio.

    Ta kiểm được các mặt phẳng đều chứa d (có \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{\alpha}} = 0 và đi qua điểm (1; - 1;2)). Tính sin^{- 1}\left( \frac{|A + 2B + C|}{\sqrt{6}.\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \right) CALC nhập vtpt trong đáp án, \max\varphi \approx 35,26^{o}.

    Cách 2. Khử dần ẩn.

    Giả sử vtpt \overrightarrow{n_{\alpha}} = (a;b;c) vuông góc \overrightarrow{u_{d}} nên 2a + b + 2c = 0

    \Rightarrow b = - 2a - 2c. Ta có:

    \sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d'}},\overrightarrow{n_{\alpha}} \right) \right| = \frac{|a + 2b + c|}{\sqrt{6}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{3|a + c|}{\sqrt{6}.\sqrt{5a^{2} + 8ac + 5c^{2}}}, với a^{2} + c^{2} \neq 0 .

    Do vai trò ngang nhau, khi a = c thì \max\left( \sin\varphi \right) = \sqrt{\frac{1}{3}}.

    Chọn c = 1,a = 1,b = - 4 và phương trình (\alpha):x - 4y + z - 7 = 0.

    Nhận xét.

    Trong cách 2, ta khử dần ẩn từ a,b,c về còn hai ẩn a,c; Tổng quát: phải xét trường hợp a = 0 \cup a \neq 0 rồi chia cả tử và mẫu cho a để đưa về một ẩn t = \frac{c}{a}, tiếp theo là khảo sát hàm số biến t. Sau đây là cách 3 sử dụng một ẩn.

    Cách 3. Khảo sát.

    Gọi A(a - 1;2a;a + 1) = d' \cap (\alpha), điểm M(1; - 1;2) \in d \Rightarrow \overrightarrow{MA} = (a - 2;2a + 1;a - 1).

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{MA},\overrightarrow{u_{d}} \right\rbrack = (3a + 3;2; - 3a - 4).

    Khi đó \sin\varphi = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{u_{d'}} \right) \right| = \frac{3}{\sqrt{6}.\sqrt{(3a + 3)^{2} + 4 + (3a + 4)^{2}}} lớn nhất nếu Parabol nhỏ nhất: P = 18a^{2} + 42a + 29, tại a = - \frac{42}{36} = - \frac{7}{6}.

    Vậy \overrightarrow{n_{\alpha}} = - \frac{1}{2}(1; - 4;1) và phương trình (\alpha):x - 4y + z = 7.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính đường kính lớn nhất của đường tròn đó

    Trong không gian Oxyz, cho (P):(1 + m)x + (1 - m)y - (1 + 3m)z - (2 - 8m) = 0, điểm A( - 4; - 2;7). Biết tập hợp các hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) là một đường tròn. Đường kính lớn nhất của đường tròn đó bằng:

    Hướng dẫn:

    Viết lại mặt phẳng (P) thành: x + y - z - 2 + m(x - y - 3z + 8) = 0 do đó (P) luôn đi qua một đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng (\alpha):x + y - z - 2 = 0 và (\beta):x - y - 3z + 8 = 0.

    Phương trình của là d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 1}{1}. Gọi M là điểm chiếu vuông góc của A trên (P), I là hình chiếu của A trên d thì AM vuông góc với IM nên M thuộc mặt cầu đường kính AI.

    Ta có

    AM = \frac{\left| - 4(1 + m) - 2(1 - m) + 7(1 + 3m) - (2 - 8m) \right|}{\sqrt{(1 + m)^{2} + (1 - m)^{2} + (1 + 3m)^{2}}} = \frac{|27m - 1|}{\sqrt{11m^{2} + 6m + 3}}.

    Khi m = 1/27 thì AM = 0, nghĩa là MI \equiv AI = 5\sqrt{3}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0; - 1;2), B(2; - 3;0), C( - 2;1;1), D(0; - 1;3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD} = 1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Gọi I(1; - 2;1) là trung điểm AB, K( - 1;0;2) là trung điểm của CD. Ta có:

    \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 1 \Leftrightarrow {\overrightarrow{MI}}^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} = 1

    \Leftrightarrow MI^{2} = 1 + \frac{1}{4}AB^{2} \Leftrightarrow MI = 2.

    Suy ra M thuộc mặt cầu tâm I bán kính R = 2.

    Tương tự M thuộc mặt cầu tâm K, bán kính R' = 2.

    Do đó M thuộc đường tròn giao tuyến, bán kính r = \sqrt{R^{2} - \left( \frac{IK}{2} \right)^{2}} = \sqrt{4 - \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức P

    Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (\alpha):x - my + z + 6m + 3 = 0 và (\beta):mx + y - mz + 3m - 8 = 0 (với m là tham số thực); hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng \Delta. Gọi \Delta' là hình chiếu của \Delta lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng \Delta' luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I(a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức P = 10a^{2} - b^{2} + 3c^{2}.

    Hướng dẫn:

    Viết lại (\alpha):mx - m^{2}y + mz + 6m^{2} + 3m = 0, cộng theo vế với (\beta) ta được:

    mp(P):2mx + \left( 1 - m^{2} \right)y + 6m^{2} + 6m - 8 = 0, đây là mặt phẳng vuông góc với mp(Oxy) và chứa \Delta'.

    Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;0), bán kính R sao cho d\left( I,(P) \right) = R.

    Ta có:

    R^{2} = \frac{\left\lbrack 2ma + \left( 1 - m^{2} \right)b + 6m^{2} + 6m - 8 \right\rbrack^{2}}{4m^{2} + \left( m^{2} - 1 \right)^{2}}= \frac{\left\lbrack (6 - b)m^{2} + 2m(a + 3) + b - 8 \right\rbrack^{2}}{\left( m^{2} + 1 \right)^{2}}.

    Chọn a = - 3,b = 7 ta được R^{2} = 1 \Leftrightarrow R = 1 với mọi m.

    Khi đó P = 10a^{2} - b^{2} + 3c^{2} = 41.

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định độ dài lớn nhất của MB

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3), mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0 và đường thẳng \Delta:\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z + 2}{- 4}. Đường thẳng d đi qua A, song song với \Delta và cắt (P) tại B. Điểm M di động trên (P) sao cho tam giác AMB luôn vuông tại M. Độ dài đoạn MB có giá trị lớn nhất bằng

    Hướng dẫn:

    Điểm M thuộc đường tròn giao tuyến của (P) với mặt cầu đường kính AB nên MB có giá trị lớn nhất bằng đường kính của đường tròn giao tuyến, hay M là hình chiếu vuông góc của A trên (P).

    Ta có BM = h.tan\alpha = h.\frac{\sqrt{1 - cos^{2}\alpha}}{\cos\alpha}

    Ghi \frac{|2x + 2y - z + 9|}{3} CALC (nhập tọa độ A) 1 = 2 = - 3 = = Sto D. Bấm 🞁 sửa thành

    \frac{|2x + 2y - z|}{3\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} CALC (nhập tọa độ \overrightarrow{u}) 3 = 4 = - 4 = = Sto E.

    Ghi \frac{D\sqrt{1 - E^{2}}}{E}\ = ta có kết quả \sqrt{5}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; - 3) và mặt phẳng (P):2x + 2y - z + 9 = 0. Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương \overrightarrow{u} = (3;4; - 4) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90^{o}. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

    Hướng dẫn:

    Theo giả thiết thì M thuộc mặt cầu dường kính AB, tâm I là trung điểm AB. Gọi H là tâm đường tròn giao tuyến thì M thuộc đường tròn tâm H, có B cố định nên MB lớn nhất khi MB là đường kính của đường tròn tâm H, hay M là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Ta cần viết phươmh trình đường thẳng BM.

    Vào MENU 9 1 2 nhập 2 = 2 = 1 = \& 3 = 4 = 4 = ta có \overrightarrow{n_{Q}} = ( - 4;5;2) là vtpt của mp(Q) chứa A, B và vuông góc với (P).

    Phương trình (Q): - 4x + 5y + 2z = 0.

    Từ các phương trình (P) và (Q), cho x = t \Rightarrow y = - 2,z = 5 + 2t, cũng là phương trình của MB, và đi qua điểm I( - 1; - 2;3).

    Nhận xét.

    Đây là bài toán rất tốt để rèn luyện kiến thức về tọa độ không gian Oxyz, đòi hỏi đầy đủ về điểm - Đường thẳng - mặt phẳng - mặt cầu - giao tuyến - hình chiếu - vuông góc - song song tức là kiến thức khá cơ bản và tổng hợp trong một bài toán. Ngoài ra không kém phần trừu tượng, do đó cũng cần đòi hỏi kỹ năng giải nhanh, có thể không khó nhưng giải thông thường thì tốn khá nhiều thời gian.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \ d:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z + 1}{- 1} và điểm A(1;1;1). Hai điểm B, C di động trên đường thẳng d sao cho mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC).Gọi điểmB' là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AC. Biết rằng quỹ tích các điểm B' là đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này.

    Hướng dẫn:

    Nhận xét rằng đường thẳng OA vuông góc với d. Vẽ mp(P) chứa d và vuông góc với OA, phương trình (P) là x + y + z = 0.

    Ta thấy mp(P) đi qua O, mà mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt phẳng (OAC) nên \widehat{BOC} = 90^{o} hay OB\bot OC.

    Ta có B' thuộc mặt cầu (S) đường kính OA có tâm I\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right), bán kính R = \frac{\sqrt{3}}{2}.

    Mặt khác B' thuộc mặt phẳng (ABC) chứa A và d. Phương trình (ABC):

    2x + 5y - z - 6 = 0.

    Vậy B' \in (C) = (S) \cap (ABC) có r = \sqrt{R^{2} - h^{2}}.

    với h = d\left( I;(ABC) \right) = \frac{\sqrt{30}}{10} nên r = \sqrt{R^{2} - h^{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\sqrt{\mathbf{5}}}{\mathbf{10}}.

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính tổng bán kính hai mặt cầu

    Trong không gian Oxyz, xét số thực m \in (0;1) và hai mặt phẳng (\alpha):2x - y + 2z + 10 = 0 và (\beta):\frac{x}{m} + \frac{y}{1 - m} + \frac{z}{1} = 1. Biết rằng khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với cả hai mặt phẳng (\alpha),(\beta). Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng

    Hướng dẫn:

    Gọi I(a\ ;\ b\ ;\ c) là tâm mặt cầu, bán kính R.

    Ta thấy \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{(1 - m)^{2}} + 1} = \frac{1}{m(1 - m)} - 1.

    R = d\left( I,(\beta) \right) = \frac{\left| \frac{a}{m} + \frac{b}{1 - m} + c - 1 \right|}{\frac{1}{m(1 - m)} - 1}, thay m bởi 1 - m suy ra a = b.

    Khi đó: R = \frac{\left| \frac{a}{m(1 - m)} + c - 1 \right|}{\frac{1}{m(1 - m)} - 1} \Rightarrow c - 1 = - a,R = |a|.

    Mặt khácR = d\left( I,(\alpha) \right) = \frac{|a + 2c + 10|}{3}, suy ra | - a + 12| = 3|a| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = - 6 \\ a = 3 \end{matrix} \right..

    Vậy R_{1} + R_{2} = 6 + 3 = 9.

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1\ ;\ 1\ ;\ 2), mặt phẳng (P):\ (m - 1)x + y + mz - 1 = 0, với m là tham số. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Cách 1. Khảo sát.

    Ta có d\left( A,(P) \right) = \frac{|3m - 1|}{\sqrt{(m - 1)^{2} + 1 + m^{2}}}. Vào MENU 8 khảo sát hàm số, ta có \max d\left( A,(P) \right) = \frac{\sqrt{42}}{3} \approx 2,16025 khi m = 5.

    Cách 2. Quỹ tích - Vị trí tương đối.

    Ta có (P) luôn chứa đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = - t \end{matrix} \right. cố định.

    Kẻ AH,AK lần lượt vuông góc với (P) và d thì ta có AH \leq AK, do đó \max d\left( A,(P) \right) = AK, khi đó \overrightarrow{AK} là một véc tơ pháp tuyến của (P).

    Ghi \frac{x + y - z}{3} CALC nhập 1 = 0 = 2 = \ = STO M, bấm AC ghi M - 1:M: - M - 2 bấm = \ \ = \ \ = ta được \overrightarrow{AK} = \frac{- 1}{3}(4;1;5), suy ra \frac{m - 1}{4} = \frac{1}{1} = \frac{m}{5} \Rightarrow m = 5.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:\frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{2 - z}{1}. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q):2x - y - 2z - 2 = 0 một góc có số đo nhỏ nhất. Điểm A(1;2;3) cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng:

    Hướng dẫn:

    Giả sử (P) \cap (Q) = \Delta, trong mặt phẳng (P) thì d \cap \Delta = M.

    Trên d lấy điểm B và hạ BH,BK vuông góc với (Q) và \Delta. Khi đó \widehat{BKH} = \varphi là góc giữa (P) và (Q).

    Ta có \sin\varphi = \frac{BH}{BK} \geq \frac{BH}{BM} , dấu bằng có khi K \equiv M.

    Khi đó \Delta\bot d nên \overrightarrow{u_{\Delta}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack.

    Tính được \overrightarrow{u_{\Delta}} = (3;0;3) hoặc chọn \overrightarrow{u_{\Delta}} = (1;0;1).

    Suy ra \overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack = (1;1; - 1) do đó phương trình (P):x + y - z + 3 = 0.

    Vậy d\left( A,(P) \right) = \sqrt{3}.

  • Câu 17: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x - y + z + 3 = 0, (Q):x + 2y - 2z - 5 = 0 và mặt cầu (S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 6z - 11 = 0. Gọi M là điểm di động trên (S) và N là điểm di động trên (P) sao cho MN luôn vuông góc với (Q). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 2;3), bán kính R = 5; d\left( I,(P) \right) = 3\sqrt{3} > R. MN có vtcp \overrightarrow{u\ } = \overrightarrow{n_{Q}} = (1;2; - 2) không đổi, \overrightarrow{n_{P}\ } = (1; - 1;1).

    Gọi H là hình chiếu của M trên (P).

    Đặt \widehat{NMH} = \alpha, ta có MN = \frac{MH}{\sin\alpha} nên MN_{\max}

    \Leftrightarrow MH_{\max} = R + IH = 5 + 3\sqrt{3}.

    Ta có \sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u\ },\overrightarrow{\ n} \right) \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}.

    Vậy MN_{\max} = \left( 5 + 3\sqrt{3} \right)\sqrt{3} = 9 + 5\sqrt{3}.

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính bán kính đường tròn

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y - z - 3 = 0 và hai điểm A(1;1;1), B( - 3; - 3; - 3). Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A,B và tiếp xúc với (P) tại điểm C. Biết rằng C luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó

    Hướng dẫn:

    Gọi D là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P), trong mặt phẳng (ABC) thì giao tuyến với mặt cầu là một đường tròn.

    Áp dụng tính chất tiếp tuyến và cát tuyến ta có: DC = \sqrt{DA.DB} = R không đổi, nên C thuộc đường tròn tâm D, bán kính R.

    Ta có

    \frac{DB}{DA} = \frac{d_{B}}{d_{A}} = \frac{d\left( B,(P) \right)}{d\left( A,(P) \right)} = \frac{| - 6|}{| - 2|} = 3

    \Leftrightarrow \frac{DA + AB}{DA} = 3 \Leftrightarrow DA = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.

    Suy ra R = \sqrt{2\sqrt{3}.6\sqrt{3}} = 6.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính a +2b

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y - 4z = 0, đường thẳng d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{1} và điểm A(1;\ \ 3;\ \ 1) thuộc mặt phẳng (P). Gọi \Delta là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi \overrightarrow{u} = (a;\ \ b;\ \ 1) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \Delta. Tính a + 2b.

    Hướng dẫn:

    Giả sử MN là đoạn vuông góc chung của \Delta và d.

    Ta có MN \leq MA do đó MA là đoạn vuông góc chung cần tìm.

    Trong đó M là hình chiếu của A trên d.

    Ghi \frac{2x - y + z}{6} CALC nhập 0 = 4 = - 2 = \ =STO M bấm AC

    Ghi 2M + 1 - 1: - M - 1 - 3:M + 3 - 1 = = \ = ta được \overrightarrow{AM} = ( - 2; - 3;1).

    Vào MENU 9 1 2 nhập dòng đầu 1 = 1 = 4 = dòng hai - 2 = - 3 = - 1 =

    ta có \overrightarrow{u} = (11;\ \ - 7;\ \ 1) nên a + 2b = - 3.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị lớn nhất của khoảng cách d

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = \frac{5}{6}, mặt phẳng (P):x + y + z + 1 = 0 và đường thẳng \Delta:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}. Điểm M thuộc đường tròn giao tuyến của (P) và (S). Giá trị lớn nhất của d(M;\Delta) là

    Hướng dẫn:

    Mặt cầu có tâm I(1; - 1;0),R^{2} = \frac{5}{6}.

    Hạ IH vuông góc với (P), IH = d\left( I,(P) \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}.

    Bán kính đường tròn giao tuyến là: r = \sqrt{R^{2} - IH^{2}} = \sqrt{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

    Đường thẳng \Delta vuông góc với (P) và cắt (P) tại K; d(I,\Delta) = HK = \sqrt{2} = 2r.

    Khi đó \max d(M,\Delta) = 3r = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (85%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
37 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này