Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Bài toán thực tế khảo sát hàm phân thức hữu tỉ toán 12 có đáp án

Chuyên đề Toán thực tế lớp 12

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 12

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải bài toán thực tế hàm phân thức hữu tỉ

Bài toán thực tế khảo sát hàm phân thức hữu tỉ Toán 12 là dạng toán xuất hiện thường xuyên trong các đề thi tốt nghiệp THPT, yêu cầu học sinh kết hợp kiến thức khảo sát hàm số với khả năng mô hình hóa các tình huống thực tiễn. Bài viết tổng hợp lý thuyết trọng tâm, phương pháp giải, ví dụ minh họa và hệ thống bài tập có đáp án chi tiết, giúp học sinh ôn luyện hiệu quả và nâng cao kỹ năng vận dụng.

A. Đề bài bài tập thực tế ứng dụng khảo sát hàm phân thức hữu tỉ

Câu 1. Một bể chứa ban đầu có $250$ lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 25 lít nước, đồng thời cho vào bể 8 gam chất khử khuẩn $\left( {{\rm{Cl}}{{\rm{O}}_2}} \right)$ $\left( {{\rm{Cl}}{{\rm{O}}_2}} \right)$ được hòa tan. Giả sử $C(t)$ là nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau t phút (với $C\left( t \right) = \frac{{m\left( t \right)}}{{V\left( t \right)}}$ $C\left( t \right) = \frac{{m\left( t \right)}}{{V\left( t \right)}}$, đơn vị gam/lít, trong đó m(t) là khối lượng chất khử khuẩn trong bể và $V\left( t \right)$ $V\left( t \right)$ là thể tích nước trong bể). Gọi $c$ là số dương nhỏ nhất mà nồng độ chất khử khuẩn là $C(t)$ tăng theo thời gian $t$ nhưng không vượt quá ngưỡng $c$ gam/lít. Tìm c.

Câu 2. Biết rằng tốc độ đánh máy trung trình S (tính bằng từ trên phút) của một học viên lớn tuổi sau t tuần (kể từ khi chưa biết đánh máy) được cho bởi một trong hai công thức sau $S(t) = \frac{{a{t^2} + b}}{{c{t^2} + d}}$ $S(t) = \frac{{a{t^2} + b}}{{c{t^2} + d}}$ và $S(t) = \frac{{a{t^2} + b}}{{ct + d}}$ $S(t) = \frac{{a{t^2} + b}}{{ct + d}}$ $(a,b,c,d \in \mathbb{R};ac \ne 0)$ $(a,b,c,d \in \mathbb{R};ac \ne 0)$

Ông A (một người lớn tuổi chưa biết đánh máy) sau 4 tuần đi học thì tốc độ đánh máy trung bình đạt 20 từ trên phút, sau 6 tuần đạt 30 từ trên phút. Em hãy dự đoán xem, sau khóa học 15 tuần thì tốc độ đánh máy trung bình của ông A là bao nhiêu từ trên phút.

Câu 3. Một bể ban đầu chứa 150 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 50 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi $f(t)$ (gam/lít) là nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút ( $t \ge 0$ $t \ge 0$), biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(t)$, ta thấy giá trị $f(t)$ tăng theo thời gian nhưng không vượt ngưỡng $p$ gam/lít. Tìm số $p$ (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Câu 4. Giả sử tỷ lệ sinh của Tỉnh A tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f\left( t \right) = \frac{{200}}{{1 + 4{e^{ - t}}}};t \ge 0,t \in N$ $f\left( t \right) = \frac{{200}}{{1 + 4{e^{ - t}}}};t \ge 0,t \in N$, trong đó thời gian t được tính bằng tháng. Khi đó đạo hàm $f’(t)$ sẽ biểu thị tốc độ tăng dân số của tỉnh A. Hỏi sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh Alà lớn nhất?

Câu 5. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f\left( t \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0$ $f\left( t \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0$ trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f’(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành thì tốc độ bán hàng đạt lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 6. Để loại bỏ $x\%$ $x\%$ chất gây ô nhiễm môi trường từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí (triệu đồng) cần bỏ ra được mô hình hóa bởi hàm số có dạng (như hình vẽ), . $\left( {0 \le x < 100} \right)$ $\left( {0 \le x < 100} \right)$ $C\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{ - x + d}}$ $C\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{ - x + d}}$ Tính chi phí chênh lệch (tỉ đồng) phải bỏ ra để loại bỏ $90\%$ $90\%$ và loại bỏ $99\%$ $99\%$ chất gây ô nhiễm từ khí thải của nhà máy.

Câu 7. Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}$ $f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $[0; + \infty ).$ $[0; + \infty ).$ Đồ thị hàm số $y = f(t)$ có đường tiệm cận ngang là $y = a$. Giá trị của a là bao nhiêu?

Câu 8. Nồng độ C của một loại hóa chất trong máu sau $t$ giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức $C\left( t \right) = \frac{{4t}}{{64 + {t^3}}}$ $C\left( t \right) = \frac{{4t}}{{64 + {t^3}}}$ với $t \ge 0$ $t \ge 0$. Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hóa chất trong máu là cao nhất? (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm)

(Còn tiếp)

B. Hướng dẫn đáp án bài tập thực tế khảo sát hàm phân thức hữu tỉ

Câu 1.

Nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau t phút là $C\left( t \right) = \frac{{8t}}{{25t + 250}},t > 0$ $C\left( t \right) = \frac{{8t}}{{25t + 250}},t > 0$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $C(t)$ trên khoảng xác định

Ta có: $C'\left( t \right) = \frac{{2000}}{{{{(25t + 250)}^2}}} > 0,\forall t > 0$

Do đó $C(t)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ $\left( {0; + \infty } \right)$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{8t}}{{25t + 250}} = \frac{8}{{25}} = 0,32$ $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{8t}}{{25t + 250}} = \frac{8}{{25}} = 0,32$

Vậy nồng độ chất khử khuẩn tăng theo thời gian và không vượt quá 0,32.

Đáp án: 0,32

Câu 2.

Đáp số: 45.

+) Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{t^2} + b}}{{ct + d}} = \pm \infty$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{a{t^2} + b}}{{ct + d}} = \pm \infty$ nên $S(t) = \frac{{a{t^2} + b}}{{ct + d}}$ $S(t) = \frac{{a{t^2} + b}}{{ct + d}}$ loại.

+) Ta có $S(0) = 0 \Leftrightarrow b = 0 \Rightarrow S(t) = \frac{{a{t^2}}}{{c{t^2} + d}}.$ $S(0) = 0 \Leftrightarrow b = 0 \Rightarrow S(t) = \frac{{a{t^2}}}{{c{t^2} + d}}.$

+) Mặt khác có $\left\{ \begin{array}{l} S(4) = 20\\ S(6) = 30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 16a = 20(16c + d)\;\;\\ 36a = 30(36c + d) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a = 80c + 5d\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 6a = 180c + 5d\;\;\;\;\;(2) \end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l} S(4) = 20\\ S(6) = 30 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 16a = 20(16c + d)\;\;\\ 36a = 30(36c + d) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a = 80c + 5d\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 6a = 180c + 5d\;\;\;\;\;(2) \end{array} \right.$

Lấy (2) trừ (1) ta được $a=50c$ thay vào ta được $d=24c$.

Vậy $S(t) = \frac{{50c{t^2}}}{{c{t^2} + 24c}} = \frac{{50{t^2}}}{{{t^2} + 24}}.$ $S(t) = \frac{{50c{t^2}}}{{c{t^2} + 24c}} = \frac{{50{t^2}}}{{{t^2} + 24}}.$

+) Do đó $S(15) = \frac{{{{50.15}^2}}}{{{{15}^2} + 24}} \approx 45.$ $S(15) = \frac{{{{50.15}^2}}}{{{{15}^2} + 24}} \approx 45.$

Câu 3.

Đáp án: 0,4.

Thể tích nước trong bể sau $t$ phút là $150+50t$(lít).

Khối lượng chất khử trùng trong bể sau $t$ phút là $20t$ (gam).

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút là $f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{50t + 150}}$ $f\left( t \right) = \frac{{20t}}{{50t + 150}}$ (gam/lít).

Ta có $f'\left( t \right) = \frac{{3000}}{{{{\left( {50t + 150} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall t \ge 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{20t}}{{50t + 150}} = \frac{2}{5} = 0,4$ $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{20t}}{{50t + 150}} = \frac{2}{5} = 0,4$.

Vậy giá trị hàm $f(t)$ luôn tăng nhưng không vượt ngưỡng 0,4 gam/lít.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

---------------------------------------------

Thành thạo bài toán thực tế khảo sát hàm phân thức hữu tỉ sẽ giúp học sinh xử lý nhanh các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia. Hãy luyện tập theo từng dạng bài, kết hợp phân tích dữ kiện và sử dụng các bước khảo sát hàm số một cách khoa học để đạt kết quả cao trong kỳ thi.

Tải về

Chọn file muốn tải về: