Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Chuyên đề Toán 12 Phương trình mặt phẳng

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Viết phương trình mặt phẳng trong không gian

Bạn đang học hình học không gian lớp 12 và muốn nắm chắc cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz? Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn chi tiết các cách lập phương trình mặt phẳng phổ biến như: mặt phẳng qua 1 điểm và có vector pháp tuyến, mặt phẳng qua 3 điểm, mặt phẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng/ mặt phẳng khác,... Tất cả đều được trình bày dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững lý thuyết và vận dụng thành thạo trong giải bài tập.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó

Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vectơ pháp tuyến.

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 0; -2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1; - 1;2)$ .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 0; -2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1; - 1;2)$ có phương trình là:

1(x- 1) - 1(y - 0) + 2(z + 2) = 0 ⇔ x - y + 2z + 3 = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x - y + 2z + 3 = 0.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 1 điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và song song với 1 mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước.

Phương pháp giải

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

1. Vectơ pháp tuyến của (β) là $\overrightarrow{n_{\beta}} = (A;B;C).$

2. (α)//(β) nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{n_{\beta}} = (A;B;C).$

3. Phương trình mặt phẳng (α): $A\left( x - x_{0} \right) + B\left( y - y_{0} \right) + C\left( z - z_{0} \right) = 0.$

Cách 2:

1. Mặt phẳng (α)//(β) nên phương trình (P) có dạng: Ax + By + Cz + D' = 0 (*), với $D' \neq D$ .

2. Vì (P) qua 1 điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ nên thay tọa độ $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ vào (*) tìm được .

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x - 3z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): 2x - 3z + 1 = 0 nên mặt phẳng (P) có phương trình dạng: $2x - 3z + D = 0\ \ \ (D \neq 1)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1; 3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn.

Ta được: 2.0 - 3.3 + D = 0 ⇔ D = 9 (thỏa mãn D ≠ 1).

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x - 3z + 9 = 0.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 3 điểm A; B; C không thẳng hàng.

Phương pháp giải

1. Tìm tọa độ các vectơ: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.$

2. Vectơ pháp tuyến của (α) là : $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack.$

3. Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B hoặc C).

4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha}}.$

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; -2),B(1; 1; 1), C(0; -1; 2).

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\overrightarrow{AB} =(0;1;3),\overrightarrow{AC} = ( - 1; - 1:4)$

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\ \right\rbrack = (7; -3;1)$ .

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{AC} \\\end{matrix} \right.$ nên $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\left\lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\ \right\rbrack$ .

Chọn $\overrightarrow{n} = (7; - 3;1)$ ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là:

7(x - 1) - 3(y - 0) + 1(z + 2) = 0

⇔ 7x - 3y + z - 5 = 0.

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Δ

Phương pháp giải

1. Tìm vectơ chỉ phương của $\Delta$ là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta}.$

2. Vì $(\alpha)\bot\Delta$ nên (α) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{u_{\Delta}}.$

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha}}.$

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 + t. \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{d}} =(1;2;1).$

Mặt phẳng (α) vuông góc với đường thẳng d nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} =\overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1)$ .

Đồng thời (α) đi qua điểm O nên có phương trình là: x + 2y + z = 0.

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ, vuông góc với mặt phẳng (β).

Phương pháp giải

1. Tìm vectơ pháp tuyến của (β) là $\overrightarrow{n_{\beta}}.$

2. Tìm vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}$

3. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} =\left\lbrack \overrightarrow{n_{\beta}};\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack.$

4. Lấy một điểm M trên $\Delta$

5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vectơ pháp tuyến.

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix}x = - t \\y = - 1 + 2t \\z = 2 + t \\\end{matrix} \right.$ và vuông góc với (β): x + 2y - z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A(0; -1; 2) và có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;2;1).$

Mặt phẳng (β) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\beta}} = (1;2; - 1)$ .

Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và vuông góc với (β) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là:

$\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack = ( - 4;0; - 4) = - 4(1;0;1)$ .

Phương trình mặt phẳng (α) là: x + z - 2 = 0.

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A; B và vuông góc với mặt phẳng (β).

Phương pháp giải

1. Tìm vectơ pháp tuyến của (β) là $\overrightarrow{n_{\beta}}.$

2. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}.$

3. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} =\left\lbrack \overrightarrow{n_{\beta}},\overrightarrow{AB} \right\rbrack$

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vectơ pháp tuyến.

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; -2), B(2; -1; 4) và vuông góc với (β): x - 2y - z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Có $\overrightarrow{AB} = (1; - 3;6)$

Mặt phẳng (β) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\beta}} = (1; - 2; - 1)$ .

Mặt phẳng (α) chứa A, B và vuông góc với (β) nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack = (15;7;1)$ .

Phương trình mặt phẳng (α) là: 15x + 7y + z - 27 = 0.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ' (Δ; Δ' chéo nhau).

Phương pháp giải

1. Tìm vectơ chỉ phương của Δ và Δ' là $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ và $\overrightarrow{u_{\Delta'}}.$

2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}},\overrightarrow{u_{\Delta'}} \right\rbrack.$

3. Lấy một điểm M trên Δ

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vectơ pháp tuyến.

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.$ và song song với đường thẳng $d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(1; 1; 1) vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(0; - 2;1)$ .

Đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(1; 0; 1) vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(1;2;2)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\ \overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = ( - 6;1;2)$ .

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} \right.$ nên $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\ \overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack$ .

Chọn $\overrightarrow{n} = ( - 6;1;2)$ .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M₁(1; 1; 1) và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = ( - 6;1;2)$ có phương trình:

-6(x - 1) + 1(y - 1) + 2(z - 1) =0

⇔ -6x + y + 2z + 3 = 0.

Thay tọa độ điểm M₂ vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: -6x + y + 2z + 3 = 0.

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và 1 điểm M.

Phương pháp giải

1. Tìm vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ , lấy 1 điểm N trên $\Delta$ . Tính tọa độ $\overrightarrow{MN}.$

2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{MN} \right\rbrack.$

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vectơ pháp tuyến

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.$ và điểm M(-4; 3; 2).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm N(1; 1; 1) vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}}(0; - 2;1)$ .

$\overrightarrow{MN} = (5; - 2; - 1).$

Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d và điểm M nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{MN} \right\rbrack = (4;5;10)$ .

Phương trình mặt phẳng (α) là: 4x + 5y + 10z - 19 = 0.

Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa 2 đường thẳng cắt nhau $\Delta$ và $\Delta'.$

Phương pháp giải

1. Tìm vectơ chỉ phương của $\Delta$ và $\Delta'$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ và $\overrightarrow{u_{\Delta'}}.$

2. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{u_{\Delta'}} \right\rbrack.$

3. Lấy một điểm M trên $\Delta .$

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 vectơ pháp tuyến.

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.$ và $d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ .$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(1; 1; 1) vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(0; - 2;1)$ .

Đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(1; 1; 1) vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(3; - 2;1)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\ \overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (0;3;6)$ , $\overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (0; 0; 0)$

Do $\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\ \overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = 0$ nên đường thẳng d₁; d cắt nhau.

Mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d₁; d₂ cắt nhau nên (α) có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = (0;3;6) = 3(0;1;2)$ .

Phương trình mặt phẳng (α) là: y + 2z - 3 = 0.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

----------------------------------------------

FAQ

1. Phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz là gì?

Phương trình mặt phẳng là biểu thức đại số dùng để biểu diễn một mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz, thường có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0.

2. Muốn viết phương trình mặt phẳng cần biết những yếu tố nào?

Tùy từng bài toán, học sinh cần xác định các dữ kiện như:

Một điểm thuộc mặt phẳng.
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ba điểm không thẳng hàng.
Quan hệ song song hoặc vuông góc với các đối tượng hình học khác.

3. Làm thế nào để viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến?

Khi biết điểm M(x₀; y₀; z₀) và vectơ pháp tuyến n = (A; B; C), phương trình mặt phẳng được thiết lập bằng cách thay các dữ kiện vào dạng tổng quát của phương trình mặt phẳng.

4. Cách viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng là gì?

Trước tiên cần xác định hai vectơ chỉ phương từ ba điểm đã cho, sau đó tìm véc-tơ pháp tuyến bằng tích có hướng và lập phương trình mặt phẳng tương ứng.

5. Chuyên đề phương trình mặt phẳng có xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia không?

Có. Đây là một trong những nội dung quan trọng thuộc phần hình học tọa độ trong không gian và thường xuất hiện ở các câu hỏi từ mức độ nhận biết đến vận dụng cao.

6. Những dạng toán phương trình mặt phẳng thường gặp là gì?

Các dạng phổ biến gồm:

Viết phương trình mặt phẳng theo dữ kiện cho trước.
Xác định mặt phẳng song song hoặc vuông góc.
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng.
Xác định góc giữa các mặt phẳng.

------------------------------

Gợi ý tham khảo:

Trên đây là toàn bộ cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz một cách đầy đủ và dễ hiểu. Hy vọng bạn đã hiểu rõ các dạng bài cơ bản và nâng cao liên quan đến chủ đề này. Hãy tiếp tục luyện tập để thành thạo kỹ năng giải bài và đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia. Đừng quên chia sẻ tài liệu nếu bạn thấy hữu ích nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: