Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Xét tính đơn điệu bằng kĩ thuật truy ngược hàm ẩn

Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số nâng cao

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách xét tính đơn điệu bằng truy ngược hàm ẩn nhanh nhất

Trong các bài toán vận dụng cao Toán 12, kĩ thuật truy ngược hàm ẩn là phương pháp quan trọng giúp xử lý hiệu quả những dạng hàm số phức tạp. Nắm chắc kỹ thuật này sẽ giúp học sinh tăng khả năng tư duy và tối ưu tốc độ làm bài.-

Tóm tắt nội dung:

Bài viết hướng dẫn cách xét tính đơn điệu bằng kĩ thuật truy ngược hàm ẩn thông qua đạo hàm, biến đổi tương đương và phân tích dấu, giúp học sinh giải nhanh các bài toán hàm số nâng cao trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Phương pháp xét tính đơn điệu

Phương pháp:

Kết hợp cùng lúc nhiều kĩ thuật xét dấu hàm hợp như: Chọn hàm, đổi biến, xét dấu theo giá trị đại diện của một khoảng, phép tịnh tiến đồ thị…

B. Ví dụ minh họa xét tính đơn điệu bằng kĩ thuật truy ngược hàm ẩn

Ví dụ . Cho hàm số có tập xác định $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau

Hỏi hàm số $g(x) = f\left( x^{2} - 2x + 2 \right)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. $( - \infty\ ;\ - 1).$ B. $(1\ ;\ \ 2).$ C. $\left( 0\ ;\ \ \frac{1}{2} \right).$ D. $\left( \frac{1}{2}\ ;\ \ + \infty \right).$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Cách giải 1: Phương pháp chọn hàm

Không mất tính tổng quát, ta chọn y'
= (x + 1)(x - 2) .

Khi đó: $y' = - 2f^{'(3 - 2x)} = (x + 1)(x - 2)$

$\Rightarrow f'(3 - 2x) = - \frac{1}{2}(x + 1)(x - 2)\ \ \ (*)$ .

Đặt $t = 3 - 2x \Rightarrow x = \frac{3 - t}{2}$ . T

hay vào (*): $f'(t) = - \frac{1}{2}.\frac{5 - t}{2}.\frac{- 1 - t}{2} = - \frac{1}{8}(t - 5)(t + 1)$ .

Suy ra: $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 5 \vee t = - 1$ .

Ta có: $g^{'(x)} = (2x - 2)f^{'\left( x^{2} - 2x + 2 \right)};$

$\ \ g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ x^{2} - 2x + 2 = 5 \\ x^{2} - 2x + 2 = - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \vee x = 3 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên:

(Nhận xét: $g'(4) = 6\underset{-}{\overset{f'(10)}{︸}} < 0$ nên ta có bảng xét dấu như trên).

Cách giải 2: Phương pháp truyền thống

Ta có: $y' = - 2f^{'(3 - 2x)}$ ; $\left\{ \begin{matrix} y^{'( - 1)} = 0 \\ y^{'(2)} = 0 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2f'(5) = 0 \\ - 2f'( - 1) = 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(5) = 0 \\ f'( - 1) = 0 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên 1:

(Nhận xét: $y'(3) = - 2f'( - 3) > 0 \Rightarrow f'( - 3) < 0$ nên ta có bảng xét dấu như trên).

Ta có: $g^{'(x)} = (2x - 2)f^{'\left( x^{2} - 2x + 2 \right)};\ \ g^{'(x)} = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ x^{2} - 2x + 2 = 5 \\ x^{2} - 2x + 2 = - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \vee x = 3 \end{matrix} \right.$ .

Bảng biến thiên 2:

(Nhận xét: $g'(4) = 6\underset{-}{\overset{f'(10)}{︸}} < 0$ nên ta có bảng xét dấu như trên).

Ví dụ 2. Cho hàm số có đạo hàm xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ .

Đặt $g(x) = f\left( - x^{3} - x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm là:Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. B. $(9; + \infty).$ C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: $g'(x) = \left( - 3x^{2} - 1 \right)f'\left( - x^{3} - x \right)$ .

Dựa vào bảng xét dấu g'(x) , không mất tính tổng quát, ta chọn: g'(x) = (x + 3)(x - 1)(x
- 3) .

Do đó: $\left( - 3x^{2} - 1 \right)f'\left( - x^{3} - x \right) = (x + 3)(x - 1)(x - 3)$

$\Rightarrow f'\left( - x^{3} - x \right) = \frac{1}{\underset{< 0}{\overset{- 3x^{2} - 1}{︸}}}(x + 3)(x - 1)(x - 3)$ (*)

Với thì (*):f'( - 2) = 0; với thì (*):f'( - 30) = 0; với thì (*):f'(30) = 0 .

(Cần hiểu rằng với mỗi giá trị x cụ thể, ta cũng chỉ tìm được một giá trị của $- x^{3} - x$ ).

Lập bảng xét dấu cho f'(x) theo nguyên tắc:

Thay thì (*):f'(0) = - 9 < 0 , do đó f'(x) mang dấu âm () trên khoảng , f'(x) sẽ đổi dấu khi đi qua các nghiệm đơn của nó.

C. Bài tập vận dụng tự rèn luyện có đáp án

Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số y = f'(x - 1) như hình vẽ.

Hàm số $g(x) = f\left( 1 - x^{2} \right)$ đồng biến trên khoảng?

A. $( - \infty\ ;\ - 1).$ B. $(0\ ;\ \ 1).$ C. $(2; + \infty).$ D. $( - 2\ ;\ \ 0).$

Câu 2. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị y = f'(1 - 2x) có bảng biến thiên như bên dưới:

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $( - 2\ ;\ 0).$ B. $( - \infty\ ;\ \ - 6).$ C. $( - 4;\ - 2).$ D. $( - \infty\ ;\ \ 0).$

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

----------------------------------------------

FAQ

❓ 1. Kĩ thuật truy ngược hàm ẩn là gì?

Là phương pháp biến đổi để đưa bài toán hàm ẩn về dạng quen thuộc dễ xét đạo hàm.

❓ 2. Khi nào nên dùng truy ngược hàm ẩn?

Khi bài toán chứa hàm số phức tạp khó xét trực tiếp.

❓ 3. Làm sao xét tính đơn điệu của hàm ẩn?

Dựa vào đạo hàm và dấu của biểu thức sau khi biến đổi tương đương.

❓ 4. Dạng toán này có khó không?

Khá khó, thường thuộc mức vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia.

❓ 5. Có cần dùng bảng biến thiên không?

Có, bảng biến thiên giúp xác định chính xác khoảng đồng biến và nghịch biến.

---------------------------------

Thành thạo phương pháp xét tính đơn điệu bằng truy ngược hàm ẩn giúp học sinh làm chủ các dạng toán khó về hàm số và đạo hàm. Đây là chuyên đề nâng cao cần luyện tập thường xuyên khi ôn thi THPT Quốc gia.

Tải về

Chọn file muốn tải về: