Toán 9 Cánh diều Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Giải Toán 9 Cánh diều Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn hướng dẫn giải chi tiết cho các câu hỏi và bài tập trong SGK Toán 9 Cánh diều tập 1 trang 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Giải Toán 9 Cánh diều Bài 1

Giải Toán 9 trang 5
Giải Toán 9 trang 6
Giải Toán 9 trang 7
Giải Toán 9 trang 8

Giải Toán 9 trang 5

Khởi động trang 5 Toán 9 Tập 1: Trên một khu đất có dạng hình vuông, người ta dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc của khu đất để làm bể bơi (Hình 1). Biết diện tích của bể bơi bằng 1 250 m2.

Độ dài cạnh của khu đất bằng bao nhiều mét?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Gọi độ dài cạnh của khu đất có dạng hình vuông là x (m) (x > 50).

Khi đó, mảnh đất dạng hình chữ nhật để làm bể bơi có các kích thước lần lượt là x – 50 (m), x – 25 (m).

Do đó, diện tích của mảnh đất đó là: (x – 50)(x – 25) (m²).

Theo bài, diện tích của bể bơi bằng 1 250 m² nên ta có phương trình:

(x – 50)(x – 25) = 1 250.

Giải phương trình:

(x – 50)(x – 25) = 1 250

x² – 25x – 50x + 1 250 – 1 250 = 0

x² – 75x = 0

x(x – 75) = 0

x = 0 hoặc x = 75.

Do x > 50 nên x = 75.

Vậy độ dài cạnh của khu đất là 75 m.

Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 9 Cánh diều

a. Cho hai số thực $u,v$ có tích $uv = 0$ . Có nhận xét gì về giá trị của u, v?

b. Cho phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ .

- Chứng tỏ rằng nghiệm của phương trình $x - 3 = 0$ và nghiêm của phương trình $2x + 1 = 0$ đều là nghiệm của phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ .

- Giả sử $x = {x_0}$ là nghiệm của phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ . Giá trị $x = x_0^{}$ có phải là nghiệm của phương trình $x - 3 = 0$ hoặc phương trình $2x + 1 = 0$ hay không?

Hướng dẫn giải:

a. Nhận xét: u = 0 hoặc v = 0.

b.

Ý 1:

+ Ta có: $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ .

+ Ta có: $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ .

Ý 2:

+ Thay $x = 3$ vào phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ ta được:

$\left( {3 - 3} \right)\left( {2.3 + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 0.7 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng).

Vậy $x = 3$ là nghiệm của phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ .

+ Thay $x = - \frac{1}{2}$ vào phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ ta được:

$\left( { - \frac{1}{2} - 3} \right)\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow - \frac{7}{2}.0 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng).

Vậy $x = - \frac{1}{2}$ là nghiệm của phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ .

Ý 3:

Khi $x = x_0^{}$ là nghiệm của phương trình $\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0$ thì $x = x_0^{}$ có là nghiệm của phương trình $x - 3 = 0$ hoặc phương trình $2x + 1 = 0$ .

Giải Toán 9 trang 6

Luyện tập 1 trang 6 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải phương trình: $\left( {4x + 5} \right)\left( {3x - 2} \right) = 0$ .

Hướng dẫn giải:

Để giải phương trình trên ta giải hai phương trình sau:

*) $4x + 5 = 0$

$x = - \frac{5}{4}$ ;

*) $3x - 2 = 0$

$x = \frac{2}{3}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - \frac{5}{4}$ và $x = \frac{2}{3}$ .

Luyện tập 2 trang 7 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải các phương trình:

a. ${x^2} - 10x + 25 = 5\left( {x - 5} \right)$ ;

b. $4{x^2} - 16 = 5\left( {x + 2} \right)$ .

Hướng dẫn giải:

a. ${x^2} - 10x + 25 = 5\left( {x - 5} \right)$

Ta có: ${x^2} - 10x + 25 = 5\left( {x - 5} \right)$

$\begin{array}{l}{\left( {x - 5} \right)^2} = 5\left( {x - 5} \right)\\{\left( {x - 5} \right)^2} - 5\left( {x - 5} \right) = 0\\\left( {x - 5} \right)\left( {x - 5 - 5} \right) = 0\end{array}$

$\left( {x - 5} \right)\left( {x - 10} \right) = 0.$

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) $x - 5 = 0$

$x = 5;$

*) $x - 10 = 0$

$x = 10.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 5$ và $x = 10$ .

Giải Toán 9 trang 7

Hoạt động 2 trang 7 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho phương trình: $\frac{{x + 2}}{x} = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Tìm điều kiện của $x$ để cả hai mẫu thức có trong phương trình (1) là khác 0.

Cho mẫu của cả hai phân thức rồi giải điều kiện.

Hướng dẫn giải:

Để mẫu thức trong phương trình (1) khác 0.

$\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. hay \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.$

Vậy $x \ne 0;x \ne 2$ thì mẫu thức trong phương trình (1) khác 0.

Luyện tập 3 trang 7 SGK Toán 9 Cánh diều

Tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = 8 + \frac{1}{{1 - x}}$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = 8 + \frac{1}{{1 - x}}$ là $x - 7 \ne 0$ và $1 - x \ne 0$ hay $x \ne 7$ và $x \ne 1$ .

Giải Toán 9 trang 8

Hoạt động 3 trang 8 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho phương trình: $\frac{{2x + 1}}{{2x}} = 1 - \frac{2}{{x - 3}}\,\,\,\left( 2 \right)$

Hãy giả phương trình (2) theo các bước sau:

a. Tìm điều kiện xác định của phương trình (2).

b. Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức các phân thức ở hai vế của phương trình (2) và khử mẫu.

c. Giải phương trình vừa tìm được.

d. Kiểm tra điều kiện xác định của phương trình (2) đối với các giá trị của ẩn vừa tìm được rồi kết luận.

Hướng dẫn giải:

a. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{2x + 1}}{{2x}} = 1 - \frac{2}{{x - 3}}$ là $2x \ne 0$ và $x - 3 \ne 0$ hay $x \ne 0$ và $x \ne 3$ .

b.

+ Mẫu thức chung của phương trình là: $2x\left( {x - 3} \right)$ .

+ Quy đồng mẫu thức: $\frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{2x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 3} \right)}}{{2x\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{4x}}{{2x\left( {x - 3} \right)}}$ .

+ Khử mẫu: $\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x\left( {x - 3} \right) - 4x$ .

c. Giải phương trình: $\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x\left( {x - 3} \right) - 4x$ .

$\begin{array}{l}2{x^2} - 6x + x - 3 = 2{x^2} - 6x - 4x\\2{x^2} - 6x + x - 3 - 2{x^2} + 6x + 4x = 0\\5x - 3 = 0\end{array}$

$x = \frac{3}{5}$ .

d. Ta thấy $x = \frac{3}{5}$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Luyện tập 4 trang 9 SGK Toán 9 Cánh diều

Giải phương trình: $\frac{x}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{2}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right)}}$ .

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: $x \ne 2$ và $x \ne 3$

$\frac{x}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{2}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$\begin{array}{l}\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = - \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\\frac{{{x^2} - 3x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = - \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\{x^2} - 3x + x - 2 = - 2\\{x^2} - 2x - 2 + 2 = 0\\{x^2} - 2x = 0\end{array}$

$x\left( {x - 2} \right) = 0$ .

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình:

*) $x = 0$ . *) $x - 2 = 0$

$x = 2$ .

Ta thấy:

+ $x = 0$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình;

+ $x = 2$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 0$ .

Luyện tập 5 trang 10 SGK Toán 9 Cánh diều

Một đội công nhân làm đường nhận nhiệm vụ trải nhựa $8100{m^2}$ mặt đường. Ở giai đoan đầu, đội trải được $3600{m^2}$ mặt đường. Ở giai đoạn hai đội công nhân tăng năng suất thêm $300{m^2}/$ ngày rồi hoàn thành công việc. Hỏi đội công nhân đã hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Biết rằng năng suất lao động của đội không thay đổi ở mỗi giai đoạn và thời gian làm việc của hai giai đoạn là như nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi số ngày làm việc ở mỗi giai đoạn của đội công nhân là x (ngày) (x > 0)

Như vậy, ở giai đoạn đầu, số m²mặt đường mỗi ngày mà đội công nhân trải được là

Ở giai đoạn hai, số m²mặt đường mỗi ngày mà đội công nhân trải được là

Vậy ta có phương trình

3600 + 3600 + 300x = 8100

300x = 900

Vậy đội công nhân đã hoàn thành công việc trong 6 ngày (hai giai đoạn, mỗi giai đoạn 3 ngày).

Bài 1 trang 11 Toán 9 Tập 1: Giải các phương trình:

a) (9x – 4)(2x + 5) = 0;

b) (1,3x + 0,26)(0,2x – 4) = 0;

c) 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0;

d) x² – 4 + (x + 2)(2x – 1) = 0.

Lời giải:

a) Để giải được phương trình (9x – 4)(2x + 5) = 0, ta giải hai phương trình sau:

9x – 4 = 0

9x = 4

x= $\frac{4}{9}$ ;

2x + 5 = 0

2x = –5

x= $\frac{-5}{2}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x= $\frac{4}{9}$ và x= $\frac{-5}{2}$

b) Để giải được phương trình (1,3x + 0,26)(0,2x – 4) = 0, ta giải hai phương trình sau:

1,3x + 0,26 = 0

1,3x = –0,26

x = –0,2;

0,2x – 4 = 0

0,2x = 4

x = 20.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –0,2 và x = 20.

c) 2x(x + 3) – 5(x + 3) = 0

(x + 3)(2x – 5) = 0.

Để giải được phương trình (x + 3)(2x – 5) = 0, ta giải hai phương trình sau:

x + 3 = 0

x = –3;

2x – 5 = 0

2x = 5

x= $\frac{5}{2}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –3 và x= $\frac{5}{2}$

d) x² – 4 + (x + 2)(2x – 1) = 0

(x – 2)(x + 2) + (x + 2)(2x – 1) = 0

(x + 2)(x – 2 + 2x – 1) = 0

(x + 2)(3x – 3) = 0.

Để giải được phương trình (x + 2)(3x – 3) = 0, ta giải hai phương trình sau:

x + 2 = 0

x = –2;

3x – 3 = 0

3x = 3

x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = 1.

Bài 3 trang 11 Toán 9 Tập 1:

Một ca nô đi xuôi dòng từ địa điểm A đến địa điểm B, rồi lại đi ngược dòng từ địa điểm B trở về địa điểm A. Thời gian cả đi và về là 3 giờ. Tính tốc độ của dòng nước. Biết tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 27km/h và độ dài quãng đường AB là 40km.

Hướng dẫn giải

Gọi tốc độ của dòng nước là: $x$ (km/h, 0 < x < 27)

Vận tốc cano khi xuôi dòng là: $27 + x$ (km/h);

Vận tốc cano khi ngược dòng là: $27 - x$ (km/h);

Thời gian cano khi xuôi dòng là: $\frac{{40}}{{27 + x}}$ (giờ);

Thời gian cano khi ngược dòng là: $\frac{{40}}{{27 - x}}$ (giờ).

Do thời gian cả đi và về là 3 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{40}}{{27 + x}} + \frac{{40}}{{27 - x}} = 3$

$\frac{{40\left( {27 - x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} + \frac{{40\left( {27 + x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} = \frac{{3\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}}$

$1080 - 40x + 1080 + 40x = 3\left( {729 - {x^2}} \right)$

$2160 = 2187 - 3{x^2}$

$3{x^2} - 27 = 0$

$3{x^2} = 27$

${x^2} = 9$

$x = 3$ (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy tốc độ của dòng nước là 3 (km/h).

Bài 4 trang 11 Toán 9 Tập 1:

Một doanh nghiệp sử dụng than để sản xuất sản phẩm. Doanh nghiệp đó lập kế hoạch tài chính cho việc loại bỏ chất ô nhiễm khí thải theo dự kiến sau: Để loại bỏ $p\%$ chất ô nhiễm trong khí thải thì chi phí $C$ (Triệu đồng) được tính theo công thức: $C = \frac{{80}}{{100 - p}}$ với $0 \le p < 100$ . Với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được bao nhiêu phần trăm chất gây ô nhiễm trong khí thải (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hướng dẫn giải

Với chi phí là 420 triệu đồng ta có: $420 = \frac{{80}}{{100 - p}}$

$4200 - 420p = 80$

$420p = 4120$

$p \approx 9,8$ .

Vậy với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được 9,8% chất gây ô nhiễm trong khí thải.

Bài 5 trang 11 Toán 9 Tập 1:

Bạn Hoa dự định dùng hết số tiền 600 nghìn đồng để mua một số chiếc áo đồng giá tặng các bạn có hoàn cảnh khó khăn. Khi đến cửa hàng, loại áo mà bạn Hoa dự định mua được giảm giá 30 nghìn đồng/chiếc. Do vậy, bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định. Tính giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua.

Hướng dẫn giải

Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là $x$ (nghìn đồng, $0 < x < 600$ ).

Giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Hoa dự định mua là: $x - 30$ (nghìn đồng)

Số lượng áo bạn Hoa đã mua là: $\frac{{600}}{x}$ (chiếc)

Số lượng áo bạn Hoa dự định mua là: $\frac{{600}}{{x - 30}}$ (chiếc)

Do bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình:

$1,25.\frac{{600}}{x} = \frac{{600}}{{x - 30}}$

$\frac{{750\left( {x - 30} \right)}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = \frac{{600x}}{{x\left( {x - 30} \right)}}$

$750x - 22500 = 600x$

$750x - 600x = 22500$

$150x = 22500$

$x = 150$ (Thoả mãn điều kiện).

Vậy giá tiền mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là 150 nghìn đồng.

Bài 6 trang 11 Toán 9 Tập 1: Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 52 m. Trên mảnh đất đó, người ta làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật với diện tích là 112 m² và một lối đi xung quanh vườn rộng 1 m (Hình 2). Tính các kích thước của mảnh đất đó.